解：①当

∠ D B E = 90 °

时，如图所示，

∵弦 $D C$ 平分 $∠ A D B$ ， $∠ A D B = 90 °$

∴ $∠ B D C = ∠ A D C = 45 °$ ，

∴ $△ B D E$ 是等腰直角三角形，

$∴ B E = B D$ ，

$∴ D E = \sqrt{B E^{2} + B D^{2}} = \sqrt{2} B E$ ，

$∵ A E ⊥ C D ， ∠ A D C = 45 °$ ，

∴ $△ A D E$ 是等腰直角三角形，

$∴ A E = D E = \sqrt{2} B E$ ，

$∴ A D = \sqrt{A E^{2} + D E^{2}} = \sqrt{2} D E = 2 B E$ ，

又 $∵ ∠ A D B = 90 °$ ，

∴ $A D^{2} + B D^{2} = A B^{2}$ ，即 ${(2 B E)}^{2} + B E^{2} = 1 0^{2}$ ，

解得 $B E = 2 \sqrt{5}$ （ $B E = - 2 \sqrt{5}$ 舍去）

综上所述， $B E$ 的长为 $2 \sqrt{5}$ ；

②在点D的运动过程中， $B E$ 存在最小值，解答如下：

如图3，连接 $O C 、 A C$ ，取 $A C$ 中点F，连接 $E F 、 B F$ ，过点F作 $F H ⊥ A B$ 于H，

$∴ C O = A O = \frac{1}{2} A B = 5$ ，

$∵ ∠ A D C = 45 °$ ，

$∴ ∠ A O C = 2 ∠ A D C = 90 °$ ，

$∵ A O = C O$ ，

$∴ A C = \sqrt{A O^{2} + C O^{2}} = \sqrt{5^{2} + 5^{2}} = 5 \sqrt{2}$ ， $∠ O A C = 45 °$ ，

$∵ A E ⊥ C D$ ，F为 $A C$ 中点，

$∴ E F = A F = \frac{1}{2} A C = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ ，

$∵ ∠ O A C = 45 ° ， F H ⊥ A B$ ，

$∴ A H = F H = \frac{\sqrt{2}}{2} A F = \frac{5}{2}$ ，

$∴ B H = A B - A H = 10 - \frac{5}{2} = \frac{15}{2}$ ，

$∴ B F = \sqrt{F H^{2} + B H^{2}} = \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} + {(\frac{15}{2})}^{2}} = \frac{5 \sqrt{10}}{2}$ ，

$∵ B E \geq B F - E F$ （当且仅当点E在线段 $B F$ 上时等号成立），

$∴ B E \geq \frac{5 \sqrt{10}}{2} - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ 即 $B E \geq \frac{5 \sqrt{10} - 5 \sqrt{2}}{2}$ ，

$∴$ $B E$ 的最小值是 $\frac{5 \sqrt{10} - 5 \sqrt{2}}{2}$ .

2022-2023学年冀教版数学九年级上册期末模拟试卷2