解：①如图

1 - 1

，当

△ E F G

≌

△ E H G

时，

$∵ ∠ G F E = 90 °$ ，

$∴ G E$ 是 $⊙ O$ 直径， $∠ E H G = 90 °$ ，

$∴ E H / / A B$ ，

$∴ △ C E H$ ∽ $△ C A B$ ，

$∴ \frac{E H}{A B} = \frac{C E}{C A} = \frac{1}{2}$ ，

$∴ E H = E F = \frac{1}{2} A B = 3$ ，

$∴ C F = 8$ ，

由（1）知， $△ A C B$ ∽ $△ G C F$ ，

$∴ \frac{C B}{C F} = \frac{A B}{G F}$ ，

$∴ F G = 6$ ，

在 $R t △ E F G$ 中， $G E = \sqrt{G F^{2} + E F^{2}} = 3 \sqrt{5}$ ，

$∴ ⊙ O$ 的半径是 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ ；

②如图 $2 - 2$ ，当 $△ E F G$ ≌ $△ E H G$ 时，

由①知 $E F = E H = 3$ ， $C H = \frac{1}{2} C B = 4$ ，

$∴ F C = E C - E F = 2$ ，

$∵ ∠ F C G = ∠ F C G$ ， $∠ C F G = ∠ A B C = 90 °$ ，

$∴ △ C F G$ ∽ $△ C B A$ ，

$∴ \frac{C F}{C B} = \frac{C G}{C A}$ ，

即 $\frac{2}{8} = \frac{C G}{10}$ ，

$∴ C G = \frac{5}{2}$ ，

$∴ H G = 4 - \frac{5}{2} = \frac{3}{2}$ ，

$∴ E G = \sqrt{G F^{2} + H G^{2}} = \frac{3 \sqrt{5}}{2}$ ，

$∴ ⊙ O$ 的半径是 $\frac{3 \sqrt{5}}{4}$ ；

综上所述，当点 $F$ 在线段 $A C$ 上时，若 $△ E F G$ 与 $△ E H G$ 全等， $⊙ O$ 的半径是 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ 或 $\frac{3 \sqrt{5}}{4}$ ；

2022-2023学年浙教版数学九上期末复习专题 直线与圆的位置关系

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