解：①如图24-2，当点F为BD中点时，

∵点E是AD中点，

∴EF= $\frac{A B}{2}$ =2．

∴DE=EF=2，

∴∠EDF=∠EFD=30°．

由翻折可得，DE=EP=2，∠EDF=∠FPE=30°

∴EF=EP=2，

∴∠EFP=∠FPE=30°

∴∠PFQ=∠EFP+∠EFD=60°

∴∠PQD=∠FPQ+∠PFQ=90°

在Rt△EQD中，DE=2，∠EDQ=30°

∴EQ=1

∴PQ=EP+EQ=3．

②可能．此时DF= $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 或 $2 \sqrt{3}$ ．理由如下：

当△DEQ的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时，
∵DQ边上的高是1，

∴DQ= $\sqrt{3}$ ，

∵DE=2，
∴EQ⊥QD，
∴EQ=1，∠QED=60°，

情形一：如图24-3，当点P在对角线BD下方时，

由翻折可得∠FEQ= $\frac{1}{2}$ ∠QED=30°

∵点F在线段BD上，

设QF=x，则EF=2x，

由勾股定理得x²+1=（2x）²，

解得x= $\frac{\sqrt{3}}{3}$

QF= $\frac{\sqrt{3}}{3}$

∴DF= $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

情形二：如图，当点P在对角线BD上方时，

∵DE=PE=2，∠QED=60°，

∴∠PED=180°-∠QED=120°

由翻折可得∠FEP=∠FED=120°

∴∠FEQ=∠FED-∠QED=60°=∠QED

∴EF=ED，

∴DF=2DQ=2 $\sqrt{3}$

综上所述，当DF= $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 或 $2 \sqrt{3}$ 时，ODEQ的面积是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

浙江省绍兴市新昌县2021-2022学年八年级下学期期末检测数学试卷