解：①证明：如图，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G.

由（1）得：EF＝EG，EF⊥EG，

又∵EH⊥EC，

∴∠HEC＝∠FEG＝90°，

∴∠HEG＋∠GEC＝∠HEG＋∠FEH＝90°，

∴∠GEC＝∠FEH＝90°，

在 $△ E F H$ 与 $△ E G C$ 中，

${\begin{array}{l} ∠ E F H = ∠ E G C \\ E F = E G \\ ∠ F E H = ∠ G E C \end{array}$ ，

∴ $△ E F H ≌ △ E G C$ （ASA），

∴EH＝EC；

②解： $B H = \sqrt{2} O E$ ，理由如下：

如图，过点H作HM⊥OB于点M，

∴∠HMB＝∠HME＝90°，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AC⊥BD，

∴∠COE＝∠HME＝∠HEC＝90°，

∴∠CEO＋∠OCE＝∠CEO＋∠MEH＝90°，

∴∠OCE＝∠MEH，

在 $△ C O E$ 与 $△ E M H$ 中，

${\begin{array}{l} ∠ C O E = ∠ E M H \\ ∠ O C E = ∠ M E H \\ E C = E H \end{array}$ ，

∴ $△ C O E ≌ △ E M H$ （AAS），

∴OE＝HM，

∵∠HMB＝90°，∠ABD＝45°，

∴∠BHM＝∠HBM＝45°，

∴BM＝HM，

∴在 $R t △ B H M$ 中， $B H^{2} = B M^{2} + H M^{2} = 2 H M^{2}$ ，

∴ $B H = \sqrt{2} H M$ （舍负），

又∵OE＝HM，

∴ $B H = \sqrt{2} O E$ .

浙江省余姚市2021-2022学年八年级下学期数学期末考试试卷