解：I．假设AO=x，可得AB=10-2x， ∴AD=-0.25（x-5）2+6.25；

∴矩形ABCD的周长为l为：

$l = 2 [- 0.25 {(x - 5)}^{2} + 6.25] + 2 (10 - 2 x) = - 0.5 x^{2} + x + 20 ，$

∴l的最大值为： $\frac{4 a c - b^{2}}{4 a} = \frac{4 \times (- \frac{1}{2}) \times 20 - 1}{- 2} = 20.5$ ．

II当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，

∵P在y=x的图象上，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．

∴∠POA=∠OPA=45°，

∴Q点的纵坐标为5，

∴5= −m²+10m 4 ，

解得： $m = 5 \pm \sqrt{5}$ ，

所以P $(5 - \sqrt{5} ， 5 - \sqrt{5})$ 或 $(5 + \sqrt{5} ， 5 + \sqrt{5})$

当∠P₃NQ₃=90°时，过点Q₃作Q₃K₁⊥对称轴，

当△NQ₃K₁为等腰直角三角形时，△NP₃Q₃为等腰直角三角形，

Q点在OM的上方时，

P₃Q₃=2Q₃K₁，P₃Q₃= $- \frac{1}{4} x^{2} + \frac{5}{2} x - x$ ， Q₃K₁=5-x，

Q点在OM的下方时，

P₄Q₄=2Q₄K₂，P₄Q₄= $x - (- \frac{1}{4} x^{2} + \frac{5}{2} x)$ ， Q₄K₂=x-5，

∴ $\frac{1}{4} x^{2} - \frac{7}{2} x + 10 = 0$ ，解得：x₁=4，x₂=10，

P₃（4，4），P₄（10，10）

∴使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为：

$(5 - \sqrt{5} ， 5 - \sqrt{5})$ 或 $(5 + \sqrt{5} ， 5 + \sqrt{5})$ 或（4，4）或（10，10）．

广东省深圳市罗湖区2022年九年级二模数学试题