解：①如图2，

当CF与AD相交时，过点F作 $F M ⊥ A B$ 于点M，

并反向延长交CD于点N，则 $F N ⊥ C D$ .

∵点E是AB的中点.

∴ $A E = \frac{1}{2} A B = \frac{5}{2}$ .

∵ $S_{Δ A B F} = \frac{1}{2} A E \cdot F M = 1$ ，

∴ $F M = \frac{4}{5}$ .

∵由（1）知 $M N = 4$ ，

∴ $F N = M N - F M = 4 - \frac{4}{5} = \frac{16}{5}$ ，

∵由折叠可知 $C F = C D = 5$ ，

∴ $C N = \sqrt{C F^{2} - F N^{2}} = \frac{3}{5} \sqrt{41}$ ，

∴ $D N = C D - C N = 5 - \frac{3}{5} \sqrt{41}$

∴ $D F = \sqrt{F N^{2} + D N^{2}} = \sqrt{50 - 6 \sqrt{41}} = \sqrt{41} - 3$

②如图3，当CF与AB相交，且∠AEF小于 $90 °$ 时，

∵同理可得 $F M = \frac{4}{5}$ ， $M N = 4$ ，

∴ $F N = F M + M N = \frac{4}{5} + 4 = \frac{24}{5}$ .

∴ $C N = \sqrt{C F^{2} - C N^{2}} = \frac{7}{5}$ .

∴ $D N = C D - C N = 5 - \frac{7}{5} = \frac{18}{5}$ .

∴ $D F = \sqrt{F N^{2} + D N^{2}} = 6$ .

③如图4，

当CF与AB相交 $∠ A F F > 90 °$ 时，

∵同理可得 $F N = \frac{24}{5}$ ， $C N = \frac{7}{5}$ ，

∴ $D N = C D + C N = 5 + \frac{7}{5} = \frac{32}{5}$ .

∴ $D F = \sqrt{F N^{2} + D N^{2}} = 8$ .

综上所述，DF的长为 $\sqrt{41} - 3$ ，6，8.

浙江省绍兴市新昌县2022年初中毕业生学业考试模拟数学试卷