解：如图2，当

\frac{5}{2} \leq x \leq 4

时，过点P作PE⊥AD，垂足为点E，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠PED＝90°，

∴PE∥AB，

∴△DPE∽△DBA，

∴ $\frac{P E}{A B} = \frac{D P}{D B}$ ，

∴ $\frac{P E}{3} = \frac{x}{5}$ ，

∴PE＝ $\frac{3}{5} x$ ，

$∴ S_{△ A P Q} = \frac{1}{2} \cdot A D \cdot P E = \frac{1}{2} x \cdot \frac{3}{5} x = \frac{3}{10} x^{2}$

∴ $y = \frac{3}{10} x^{2}$ ，

如图3，当4＜x≤5时，过点P作PF⊥AB，垂足为点F，延长FP交CD于点G，

则PF∥AD，

∵△BPF∽△BDA，

∴ $\frac{P F}{A D} = \frac{B P}{B D}$ ，

∴ $\frac{P F}{4} = \frac{5 - x}{5}$ ，

$∴ P F = \frac{4}{5} (5 - x) = 4 - \frac{4}{5} x$

∴ $∴ P G = \frac{4}{5} x$

∴S_{四边形PQCB}＝S_△BCD﹣S_△PQD＝ $\frac{1}{2} C D \cdot B C - \frac{1}{2} D Q \cdot P G = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times 4 - \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} x (x - 4) = - \frac{2}{5} x^{2} + \frac{8}{5} x + 6$ ，

∴ $y = \frac{2}{5} x^{2} + \frac{8}{5} x + 6$ ；

∴S_△APQ＝S_矩形ABCD﹣S_△ABP﹣S_△ADQ﹣S_{四边形PQCB}

= $3 \times 4 - \frac{1}{2} \times 3 (4 - \frac{4}{5} x) - \frac{1}{2} \times 4 (x - 4) - (- \frac{2}{5} x^{2} + \frac{8}{5} x + 6)$

＝ $\frac{2}{5} x^{2} - \frac{12}{5} x + 8$ ，

∴ $y = \frac{2}{5} x^{2} - \frac{12}{5} x + 8$ ；

如图4，当5＜x≤7时，过点Q作QH⊥AB，垂足为点H，则QH＝AD＝4，

$∴ S_{△ A P Q} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot Q H = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$

∴S＝6，

综上所述 $\begin{array}{l} y = {\begin{cases} \frac{3}{10} x^{2} (\frac{5}{2} \leq x \leq 4) \\ {\frac{2}{5} x^{2} - \frac{12}{5} x + 8 (4 < x \leq 5) \\ 6 (5 < x \leq 7) \end{cases} \end{array}$ ，

2022年中考数学二轮专题复习-相似三角形