解：如图，

E

在线段

A B

上时，

∵ $A B = 2$ ， $A E = 1$ ，∴点 $E$ 是 $A B$ 的中点，

由（1）知， $B D = A E = 1$ ，∴ $C D = B C + B D = 3$ ；

如图， $E$ 在线段 $A B$ 的反向延长线上时，

∵ $A E = 1$ ， $A B = 2$ ，∴ $B E = 3$ ，

∵ $△ A B C$ 是等边三角形，

∴ $∠ B A C = ∠ B C A = 60 °$ ， $A B = B C = A C = 2$ ，

过 $E$ 作 $E H // A C$ 交 $B C$ 的延长线于 $H$ ，

∴ $∠ B E H = ∠ B H E = 60 °$ ，

∴ $△ B E H$ 是等边三角形，

∴ $B E = E H = B H = 3$ ， $∠ B = ∠ H = 60 °$ ，

∵ $E D = E C$ ，∴ $∠ E D C = ∠ E C D$ ，

∴ $∠ B + ∠ B E D = ∠ H + ∠ H E C$ ，

∴ $∠ B E D = ∠ H E C$ ，

在 $△ B D E$ 和 $△ H C E$ 中， ${\begin{array}{l} B E = H E \\ ∠ B E D = ∠ H E C \\ E D = E C \end{array}$ ，

∴ $△ B D E ≌ △ H C E (S A S)$ ，

∴ $B D = H C = B H - B C = 3 - 2 = 1$ ，

∴ $C D = B H - B D - H C = 3 - 1 - 1 = 1$ ．

综上所述， $C D$ 的长为1或3．

2022年北师大数学七下期末复习阶梯训练： 生活中的轴对称（优生集训）

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