解：分两种情况讨论，

①当 $A B // E F$ 时，如图2，延长 $B P$ 交 $A D$ 的延长线于点 $G$ ，

图2

∴由已知条件可知，此时四边形 $A B F E$ 是平行四边形，

∴ $A E = B F$ ，

∵ $B P = 3 a$ ， $A P = 4 a$ ， $B P ⊥ A P$ ，

∴在 $R t_{△ A B P}$ 中， $A B^{2} = B P^{2} + A P^{2}$ ，解得， $A B = 5 a$ ，

由（2）可知， $△ A B P ≌ △ A G P$ ，

∴ $B A = G A = 5 a$ ， $B P = G P = 3 a$ ，

由（2）可知， $△ B C P ≌ △ G D P$ ，

∴ $C P = D P$ ， $B C = G D$ ，

∵ $B C // A D$ ，

∴ $∠ B F P = ∠ G E P$ ，

在 $△ C F P$ 和 $△ D E P$ 中，

$∠ C F P = ∠ D E P$ ， $C P = D P$ ， $∠ C P F = ∠ D P E$ ，

∴ $△ C F P$ ≌ $△ D E P$ ，

∴ $C F = D E$ ，

∵ $B C = G D$ ，

∴ $B C + C F = G D + D E$ ，

∴ $B F = E G$ ，

又∵四边形 $A B F E$ 是平行四边形，

∴ $B F = A E$ ，

∴ $B F = A E = E G$ ，

∴ $A G = 2 A E = 5 a$ ，

∴ $A E = \frac{5}{2} a$ ；

②如图3，过 $B$ 作 $B H ⊥ A D$ 交 $A D$ 于 $H$ ，过 $F$ 作 $F I ⊥ A D$ 交 $A D$ 于 $I$ ，

图3

同①可得 $△ P F C ≌ △ P E D$ ，

∴ $C F = D E$ ，

∴ $B F + A E = B F + A D + D E = B F + A D + C F = B C + A D$ ，

∴ $B F + A E = B C + A D = A B = 5 a$ ，

在 $R t_{△ A B P}$ 中， $S_{△ A B P} = \frac{1}{2} B P \cdot A P = 6 a^{2}$ ，

由（2）可知，梯形 $A B C D$ 的面积 $= 2 S_{△ A B P} = 12 a^{2}$ ，

梯形 $A B C D$ 的面积 $= \frac{B C + A D}{2} \times B H = 12 a^{2}$ ，

解得， $B H = \frac{24}{5} a$ ，

在 $R t △ A B H$ 中， $A H = \sqrt{A B^{2} - B H^{2}} = \frac{7}{5} a$ ，

∵ $B C // A D$ ，

∴ $B H = F I$ ， $B F = H I$ ，

∵在 $R t △ B H A$ 和 $R t △ F I E$ 中，

$B H = F I$ ， $A B = E F$ ，

∴ $R t △ B H A$ ≌ $R t △ F I E$ ，

∴ $A H = E I = \frac{7}{5} a$ ，

∴ $B F + A E = B F + A H + E I + H I = 2 (B F + A H)$ ，

∴ $B F + A E = 2 (B F + A H)$ ，

∴ $B F = \frac{11}{10} a$ ，

∴ $A E = A B - B F = \frac{39}{10} a$ .

浙教版初中数学八下第四章平行四边形优生加练