解：作PN⊥OB于N，

如图，∵ $B K = A C$ ， $O A = O B$ ， $∠ A O B = ∠ A O C = 90 °$ ，

∴Rt△BOK≌Rt△AOC，

∴ $∠ B K O = ∠ A C O = 30 °$ ， $O K = O C = 4 \sqrt{3}$ ， $A K = O K - O C = 4 \sqrt{3} - 4$

∵ $∠ C A O = ∠ P A K = 60 °$ ，

∴ $∠ A P K = ∠ B P C = 90 °$ ，

∴ $A P = \frac{1}{2} A K = \frac{1}{2} (4 \sqrt{3} - 4) = 2 \sqrt{3} - 2$ ，

此时，点P在线段CA延长线上，

∴ $2 t - 8 = 2 \sqrt{3} - 2$ ，

$t = \sqrt{3} + 3$ ；

∵ $B C = O B + O C = 4 \sqrt{3} + 4$ ，

∴ $B P = \frac{1}{2} B C = 2 \sqrt{3} + 2$ ，

∵PN⊥OB，

∵ $∠ K B O = ∠ O A C = 60 °$ ，

∴ $∠ B P N = 30 °$ ，

∴ $B N = \frac{1}{2} B P = \sqrt{3} + 1$ ，

∴ $O N = O B - B N = 3 - \sqrt{3}$ ，

∵ $C P = A P + A C = 2 \sqrt{3} + 6$ ，

∴ $N P = \frac{1}{2} P C = \sqrt{3} + 3$ ，

点P的坐标为（ $\sqrt{3} - 3$ ， $\sqrt{3} + 3$ ）

如图，同理可知Rt△BOK≌Rt△AOC，

$∠ C A O = ∠ P A K = 60 °$ ，

∵ $O A = O B$ ，

∴ $∠ O A B = ∠ O B A = 45 °$ ，

∴ $∠ A B P = ∠ B A P = 75 °$ ，

∴ $P A = P B$ ，

∴ $∠ A P B = ∠ A C O = 30 °$ ，

∴ $B C = P B = 4 + 4 \sqrt{3}$ ，

∴ $A P = 4 \sqrt{3} + 4$ ，

$2 t - 8 = 4 \sqrt{3} + 4$ ，

$t = 2 \sqrt{3} + 6$ ，

同理可得， $N P = \frac{1}{2} P C = 2 \sqrt{3} + 6$ ， $B N = \frac{1}{2} B P = 2 \sqrt{3} + 2$ ， $O N = O B + B N = 6 + 2 \sqrt{3}$ ，

点P的坐标为（ $- 2 \sqrt{3} - 6$ ， $2 \sqrt{3} + 6$ ）；

综上，点P的坐标为（ $- 2 \sqrt{3} - 6$ ， $2 \sqrt{3} + 6$ ）或（ $\sqrt{3} - 3$ ， $\sqrt{3} + 3$ ）；

初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明 全章测试

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