解：①如图1，

作 $C E ⊥ P D$ 于 $E$ ，

$∵ C$ $(0 ， 3)$ ， $B$ $(3 ， 0)$ ，

$∴$ 直线 $B C ： y = - x + 3$ ，

$∴ D (1 ， 2)$ ，可设 $Q (a ， 3 - a)$ ，

$∴ C E = P E = D E$ ，

$∴ Δ P C D$ 是等腰直角三角形，

$∴ S_{Δ P C D} = \frac{1}{2} P D \cdot C E = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$ ，

$∴$ $\frac{1}{2} A B \cdot | 3 - a | = 2$ ，

$∴$ $\frac{1}{2} \times 4 \cdot | 3 - a | = 2$ ，

$∴ a = 2$ 或 $a = 4$ ．

$∴ Q (2 ， 1)$ 或 $(4 ， - 1)$ ．

②如图2，

设 $G (m ， \frac{1}{3} m - \frac{7}{3})$ ，由 $A G^{2} = A Q^{2}$ 得， ${(m + 1)}^{2} + {(\frac{1}{3} m - \frac{7}{3})}^{2} = {(2 + 1)}^{2} + 1^{2}$ ，

化简，得 $5 m^{2} + 2 m - 16 = 0$ ， $∴ m_{1} = - 2$ ， $m_{2} = \frac{8}{5}$ ，

$∴ G_{1} (- 2 ， - 3)$ ， $G_{2} (\frac{8}{5}$ ， $- \frac{9}{5})$ ，

作 $Q H ⊥ A B$ 于 $H$ ，

$∵ A Q ⊥ Q F$ ， $∴ Δ A H Q ∽ Δ Q H M$ ，

$∴ Q H^{2} = A H \cdot H M$ ，

即： $1^{2} = 3 \cdot H M$ ， $∴ H M = \frac{1}{3}$ ， $∴ M (\frac{7}{3}$ ， $0)$ ，

设直线 $Q M$ 是： $y = k x + b$ ，

$∴$ ${\begin{array}{l} 2 k + b = 1 \\ \frac{7}{3} k + b = 0 \end{array}$ ， $∴ k = - 3$ ， $b = 7$ ， $∴ y = - 3 x + 7$ ，

由 ${\begin{array}{l} y = - 3 x + 7 \\ y = \frac{1}{3} x - \frac{7}{3} \end{array}$ 得， $x = \frac{14}{5}$ ， $y = - \frac{7}{5}$ ， $∴ F (\frac{14}{5}$ ， $- \frac{7}{5})$

$∴ G_{1} F = \sqrt{{(\frac{14}{5} + 2)}^{2} + {(3 - \frac{7}{5})}^{2}} = \frac{8}{5} \sqrt{10}$ ，

$G_{2} F = \sqrt{{(\frac{14}{5} - \frac{8}{5})}^{2} + {(\frac{9}{5} - \frac{7}{5})}^{2}} = \frac{2}{5} \sqrt{10}$ ．

备考2022年中考数学一轮复习专题：相似三角形及其应用