存在，

设点D的坐标为（n，0），点F的坐标为（t， $t^{2} - 2 t - 3$ ）

若AD和CF为平行四边形的对角线时，

∴AD的中点即为CF的中点

∴ ${\begin{array}{l} \frac{- 1 + n}{2} = \frac{2 + t}{2} ① \\ \frac{0 + 0}{2} = \frac{- 3 + (t^{2} - 2 t - 3)}{2} ② \end{array}$

解②，得 $t_{1} = 1 - \sqrt{7}$ ， $t_{2} = 1 + \sqrt{7}$

将 $t = 1 - \sqrt{7}$ 代入①，解得：n= $4 - \sqrt{7}$ ；

将 $t = 1 + \sqrt{7}$ 代入①，解得：n= $4 + \sqrt{7}$ ；

∴此时点D的坐标为（ $4 - \sqrt{7}$ ，0）或（ $4 + \sqrt{7}$ ，0）；

若AC和DF为平行四边形的对角线时，

∴AC的中点即为DF的中点

∴ ${\begin{array}{l} \frac{- 1 + 2}{2} = \frac{n + t}{2} ① \\ \frac{0 + (- 3)}{2} = \frac{0 + (t^{2} - 2 t - 3)}{2} ② \end{array}$

解②，得 $t_{1} = 0$ ， $t_{2} = 2$ （此时点F和点C重合，故舍去）

将 $t = 0$ 代入①，解得：n=1；

∴此时点D的坐标为（1，0）；

若AF和CD为平行四边形的对角线时，

∴AF的中点即为CD的中点

∴ ${\begin{array}{l} \frac{- 1 + t}{2} = \frac{n + 2}{2} ① \\ \frac{0 + (t^{2} - 2 t - 3)}{2} = \frac{0 + (- 3)}{2} ② \end{array}$

解②，得 $t_{1} = 0$ ， $t_{2} = 2$ （此时点F和点C重合，故舍去）

将 $t = 0$ 代入①，解得：n=-3；

∴此时点D的坐标为（-3，0）；

综上：存在，此时点D的坐标为（ $4 - \sqrt{7}$ ，0）或（ $4 + \sqrt{7}$ ，0）或（1，0）或（-3，0）.

人教版中考数学重难点突破专题练习：二次函数【湖南】