解：①因为抛物线

y = a x^{2} + b x + c

与x轴只有一个公共点，

所以抛物线上的点只能落在x轴的同侧.

又点 $P_{1} (- 2 ， 1) ， P_{2} (2 ， - 1) ， P_{3} (2 ， 1)$ 中恰有两点在抛物线的图象上，

所以只能是 $P_{1} (- 2 ， 1) ， P_{3} (2 ， 1)$ 在抛物线的图象上，

由对称性可得抛物线的对称轴为 $x = 0$ ，所以 $b = 0$ ，

即 $a c = 0$ ，因为 $a \neq 0$ ，所以 $c = 0$ .

又点 $P_{1} (- 2 ， 1)$ 在抛物线的图象上，所以 $4 a = 1 ， a = \frac{1}{4}$ ，

故抛物线的解析式为 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ .

②由题意设 $M (x_{1} ， y_{1}) ， N (x_{2} ， y_{2}) ， A (x_{0} ， - 1)$ ，则 $y_{1} = k x_{1} + 1 ， y_{2} = k x_{2} + 1$ .

记直线 $y = - 1$ 为m，分别过M，N作 $M E ⊥ m ， N F ⊥ m$ ，垂足分别为E，F，

即 $∠ M E A = ∠ A F N = 90 °$ ，

因为 $∠ M A N = 90 °$ ，所以 $∠ M A E + ∠ N A F = 90 °$ .

又 $∠ M A E + ∠ E M A = 90 °$ ，所以 $∠ E M A = ∠ N A F$ ，所以 $△ A M E ∽ △ N A F$ .

所以 $\frac{A E}{N F} = \frac{M E}{A F}$ ，所以 $\frac{x_{0} - x_{1}}{y_{2} + 1} = \frac{y_{1} + 1}{x_{2} - x_{0}}$ ，即 $(y_{1} + 1) (y_{2} + 1) + (x_{1} - x_{0}) (x_{2} - x_{0}) = 0$ .

所以 $(k x_{1} + 2) (k x_{2} + 2) + (x_{1} - x_{0}) (x_{2} - x_{0}) = 0$ ，

即 $(k^{2} + 1) x_{1} x_{2} + (2 k - x_{0}) (x_{1} + x_{2}) + x_{0}^{2} + 4 = 0$ .①

把 $y = k x + 1$ 代入 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ ，得 $x^{2} - 4 k x - 4 = 0$ ，

解得 $x_{1} = 2 k - 2 \sqrt{k^{2} + 1} ， x_{2} = 2 k + 2 \sqrt{k^{2} + 1}$ ，

所以 $x_{1} + x_{2} = 4 k ， x_{1} x_{2} = - 4$ .②

将②代入①，得 $- 4 (k^{2} + 1) + 4 k (2 k - x_{0}) + x_{0}^{2} + 4 = 0$ ，

即 ${(x_{0} - 2 k)}^{2} = 0$ ，解得 $x_{0} = 2 k$ ，即 $A (2 k ， - 1)$ .

所以过点A且与x轴垂直的直线为 $x = 2 k$ ，

将 $x = 2 k$ 代入 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ ，得 $y = k^{2}$ ，即 $B (2 k ， k^{2})$ ，

将 $x = 2 k$ 代入 $y = k x + 1$ ，得 $y = 2 k^{2} + 1$ ，

即 $C (2 k ， 2 k^{2} + 1)$ ，

所以 $A B = k^{2} + 1 ， B C = k^{2} + 1$ ，因此 $A B = B C$ ，

所以 $△ M A B$ 与 $△ M B C$ 的面积相等.

福建省近5年中考数学真题分类卷3-函数综合