解：分两种情况：

① $N$ 在第一象限时，

作 $N I // y$ 轴， $C I // x$ 轴， $M H ⊥ N I$ 于点 $H$ ，

∵ $△ C N M \sim △ C O A$ ，

∴ $∠ C N M = ∠ C O A = 90 °$ ， $\frac{M N}{O N} = \frac{O A}{O C} = \frac{1}{3}$ ，

∵ $∠ M N H + ∠ H N C = ∠ H N C + ∠ N C I = 90 °$ ，

∴ $∠ M N H = ∠ N C I$ ，

∵ $∠ N H M = ∠ I = 90 °$ ，

∴ $△ M N H \sim △ N C I$ ，

∴ $\frac{M H}{N I} = \frac{N H}{C I} = \frac{1}{3}$ ，

∴ $N I = 3 H M$ ， $C I = 3 N H$ ，

设 $N (n ， \frac{1}{2} n^{2} - \frac{5}{2} n - 3)$ ， $M (m ， \frac{1}{2} m - 3)$ ，

则 $N H = \frac{1}{2} n^{2} - \frac{5}{2} n - \frac{1}{2} m$ ， $H M = m - n$ ， $N I = \frac{1}{2} n^{2} - \frac{5}{2} n$ ， $C I = n$ ，

则 ${\begin{array}{l} \frac{1}{2} n^{2} - \frac{5}{2} n = 3 (m - n) \\ n = 3 (\frac{1}{2} n^{2} - \frac{5}{2} n - \frac{1}{2} m) \end{array}$ ，解得： ${\begin{array}{l} n_{1} = 0 \\ m_{1} = 0 \end{array}$ （舍）或 ${\begin{array}{l} n_{2} = 7 \\ m_{2} = \frac{28}{3} \end{array}$ ，

∴ $N_{1} (7 ， 4)$ ；

② $N$ 在第四象限

同理可得： ${\begin{array}{l} \frac{1}{2} n^{2} - \frac{5}{2} n = 3 (n - m) \\ n = 3 [(\frac{1}{2} m - 3) - (\frac{1}{2} n^{2} - \frac{5}{2} n - 3)] \end{array}$ ，解得： ${\begin{array}{l} n_{1} = 0 \\ m_{1} = 0 \end{array}$ （舍）或 ${\begin{array}{l} n_{2} = \frac{37}{7} \\ m_{2} = \frac{740}{147} \end{array}$ ，

∴ $N_{2} (\frac{37}{7} ， - \frac{110}{49})$

综上所述：点N的坐标为： $(7 ， 4)$ 或 $(\frac{37}{7} ， - \frac{110}{49})$ ．

湖北省武汉市武昌区2021年中考数学训练卷（二）