解：①

∠ D G F = 45 °

.

$∵$ 点F与点C关于直线 $D E$ 对称，且四边形 $A B C D$ 是正方形，

$∴ D C = D F = A D$ ， $∠ C D G = ∠ F D G = (90 - x) °$ ，

$∴ ∠ F D A = ∠ F D G - ∠ A D G = (90 - 2 x) °$ ，

$∴$ 在等腰 $△ D A F$ 中， $∠ D A F = \frac{1}{2} (180 ° - ∠ A D F) = (45 + x) °$ ，

又 $∵ ∠ D A F = ∠ A D G + ∠ D G F = x ° + ∠ D G F$ ，

$∴ ∠ D G F = 45 °$ ；

② $A F = \sqrt{2} B G$ .

证明：连接 $C G$ ， $C F$ ，

由对称性可知 $G C = G F$ ， $∠ D G C = ∠ D G F = 45 °$

即 $△ C G F$ 是等腰直角三角形，

∴FC $= \sqrt{C G^{2} + F G^{2}} = \sqrt{2 C G^{2}} = \sqrt{2} C G$ ，

$∴ \frac{C F}{C G} = \sqrt{2}$ ，

∵四边形ABCD为正方形，

∴ $A C = \sqrt{C B^{2} + A B^{2}} = \sqrt{2 C B^{2}} = \sqrt{2} C B$ ，

$∵ \frac{C A}{C B} = \sqrt{2}$ ，

$∴ \frac{C F}{C G} = \frac{C A}{C B}$ ，

又 $∵ ∠ A C F = ∠ B C G = 45 ° - ∠ A C G$ ，

$∴ △ C A F ∽ △ C B G$ ，

$∴ \frac{A F}{B G} = \frac{C A}{C B} = \sqrt{2}$ ，

$∴ A F = \sqrt{2} B G$ ．

山东省淄博市周村区（五四制）2021年中考数学一模试卷