解：如图3中，连接PB，作CM⊥BC交HP的延长线于M，延长BG交CM于N，作GR⊥AB于R，交DN于T．

∵AP=CG，∠BAP=∠BCG=45°，BA=BC，∴△BAP≌△BCG，∴BP=BG，∴∠BPG=∠BGP，∵HM⊥AE，BN⊥AE，

∴HM∥BN，∵MN∥BH，

∴四边形MNBH是平行四边形，

∴MN=BH，

∵∠APH=∠CPM=∠BGP=∠BPG，PC=PC，∠PCB=∠PCM，

∴△PCM≌△PCB，

∴CM=BC=AB，∵BC=AB，∠ABE=∠BCN，易证∠BAE=∠CBN，

∴△ABE≌△BCN，

∴BE=CN，设BE=CN=a，则BH=MN=2a，

∴CM=BC=AB=3a，∴AH=BE=a，

∵△BFE∽△ABE，

∴

\frac{B E}{A B}

=

\frac{E F}{B F}

=

\frac{1}{3}

，

∵EF=1，

∴BF=3，BE=

\sqrt{E F^{2} + B F^{2}}

=

\sqrt{10}

，

∴AH=CN=BE= $\sqrt{10}$ ，AB=BC=CM=3 $\sqrt{10}$ ，

∵AH∥CM，∴

\frac{A H}{C M}

=

\frac{A P}{P C}

=

\frac{1}{3}

，∵AP=CG，∴AP=DP=DG=CG，∵GR∥BC，

∴ $\frac{A R}{A B}$ = $\frac{A G}{A C}$ = $\frac{3}{4}$ ，

∴AR=GR=

\frac{9 \sqrt{10}}{4}

，OR=RB=

\frac{3 \sqrt{10}}{4}

，在Rt△GOR中，GO=

\sqrt{O R^{2} + G R^{2}}

=

\frac{15}{2}

，∵DK∥OA，∴

\frac{G K}{G O}

=

\frac{G D}{G A}

=

\frac{1}{3}

，∴GK=

\frac{5}{2}

．

黑龙江省哈尔滨市第六十九中学2021年中考数学三模试卷