解：存在点

P

，使得

△ P C E

与

△ D E F

相似.

∵直线 $y = - x + 4$ 与y轴交于点C，与x轴交于点D.

∴点C坐标为（0，4），点D坐标为（4，0），

∴ $O C = O D = 4$ ，

∴ $∠ O D C = ∠ O C D = 45 °$ ，

又 $∵ P F ⊥ x$ 轴，

$∴ ∠ E F D = 90 °$ ，

又 $∵ ∠ P E C = ∠ D E F = 45 °$ ，

$∴$ 要使 $△ P C E$ 与 $△ D E F$ 相似，只需 $∠ C P E = 90 °$ 或 $∠ P C E = 90 °$ 即可.

设 $P {(m ，_{} - m^{2} + 4 m + 5)}_{}$ ，则 $E (m ， - m + 4)$ ，

当 $∠ C P E = 90 °$ 时，则由 $- m^{2} + 4 m + 5 = 4$ ，

解得： $m = 2 \pm \sqrt{5}$ ，

此时点 $P$ 的坐标 $(2 + \sqrt{5} ， 4)$ 或 $(2 - \sqrt{5} ，_{} 4)$ ；

当 $∠ P C E = 90 °$ 时，过 $P$ 作 $P G ⊥ y$ 轴于点 $G$ ，

则 $P G = | m |$ ， $G C = | - m^{2} + 4 m + 5 - 4 | = | - m^{2} + 4 m + 1 |$

当 $△ P C G$ 为等腰直角三角形时，有 $∠ P C E = 90 °$ .

于是 $P G = G C$ ，即 $m = - m^{2} + 4 m + 1$ ，

解得： $m = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$ ，

此时点 $P$ 的坐标为 $(\frac{3 + \sqrt{13}}{2} ，_{} \frac{11 + \sqrt{13}}{2})$ 或 $(\frac{3 - \sqrt{13}}{2} ，_{} \frac{11 - \sqrt{13}}{2})$ ，

故综上所述，有符合条件的点 $P$ 存在，且坐标为 $(2 + \sqrt{5} ，_{} 4)$ 或 $(2 - \sqrt{5} ，_{} 4)$ 或 $(\frac{3 + \sqrt{13}}{2} ， \frac{11 + \sqrt{13}}{2})$ 或 $(\frac{3 - \sqrt{13}}{2} ， \frac{11 - \sqrt{13}}{2})$

河南省许昌长葛市2021年数学中招一模试卷