解：由于沿

E C

将点

B

折起至点

P

，

所以点 $P$ 在底面内的射影必在折痕的垂直平分线上，

因为 $B E \underline{\underline{∥}} C Q$ ，所以四边形 $B E C Q$ 是矩形，

所以 $B ， O ， Q$ 三点共线，二面角 $P - E C - B$ 等于 $120^{\circ}$ ，所以 $∠ P O Q = 60^{\circ}$ ，

因为 $B O = P O = O Q = 1$ ，所以 $△ P O Q$ 正三角形，可得 $P Q = 1$ ，

以 $O$ 为原点，分别以 $O Q ， O E$ 为 $x$ 轴， $y$ 轴，与它们都垂直于的直线为 $z$ 轴.

建立空间直角坐标系如图所示：

所以 $Q (1 ， 0 ， 0)$ ， $D (2 ， 1 ， 0)$ ， $A (1 ， 2 ， 0)$ ，

$O P = 1$ ， $1 \times \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ ， $1 \times \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，所以 $P (\frac{1}{2} ， 0 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，

所以 $\vec{Q A} = (0 ， 2 ， 0) ， \vec{Q P} = (- \frac{1}{2} ， 0 ， \frac{\sqrt{3}}{2}) ， \vec{D P} = (- \frac{3}{2} ， - 1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，

设平面 $P Q A$ 的法向量为 $\vec{n} = (x ， y ， z)$ ，

${\begin{array}{l} \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{Q A} = 2 y = 0 \\ \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{Q P} = - \frac{1}{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2} z = 0 \end{array}$ ，

令 $z = 1$ 可得 $x = \sqrt{3}$ ， $y = 0$ ，所以 $\vec{n} = (\sqrt{3} ， 0 ， 1)$ ，

$\sin θ = | \cos 〈 \vec{D P} ， \vec{n} 〉 | = \frac{| \vec{D P} \cdot \vec{n} |}{| \vec{D P} | \cdot | \vec{n} |} = \frac{| \frac{- 3 \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} |}{\sqrt{\frac{9}{4} + 1 + \frac{3}{4}} \times \sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

所以 $P D$ 与平面 $P A Q$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

人教A版选修一空间向量与立体几何单元测试卷