解：如图，建立分别以

F B ， F E ， F F_{1}

为

x ， y ， z

轴的空间直角坐标系，

则 $B (\sqrt{3} a ， 0 ， 0)$ ， $C (\sqrt{3} a ， a ， 0)$ ， $D_{1} (\frac{\sqrt{3} a}{2} ， \frac{3 a}{2} ， h)$ ， $F_{1} (0 ， 0 ， h)$

$\vec{B C} = (0 ， a ， 0)$ ， $\vec{B F_{1}} = (- \sqrt{3} a ， 0 ， h)$ ， $\vec{C D_{1}} = (- \frac{\sqrt{3} a}{2} ， \frac{a}{2} ， h)$

设平面 $B F_{1} C$ 法向量为 $\vec{n} = (x ， y ， z)$

${\begin{array}{l} \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{B C} = 0 \\ \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{B F_{1}} = 0 \end{array}$ ， ${\begin{array}{l} a y = 0 \\ - \sqrt{3} a x + h z = 0 \end{array}$ ，令 $x = \sqrt{3}$ ，则 $z = \frac{3 a}{h}$ ， $y = 0$

$\vec{n} = (\sqrt{3} ， 0 ， \frac{3 a}{h})$

所以 $D_{1}$ 到平面 $B F_{1} C$ 的距离 $d = \frac{| \vec{n} \cdot \vec{C D_{1}} |}{| \vec{n} |} = \frac{- \frac{\sqrt{3} a}{2} \times \sqrt{3} + \frac{a}{2} \times 0 + h \times \frac{3 a}{h}}{\sqrt{3 + \frac{9 a^{2}}{h^{2}}}} = \frac{3 a h}{2 \sqrt{3 h^{2} + 9 a^{2}}}$

又 $F_{1} C = \sqrt{4 a^{2} + h^{2}}$ ， $B C = a$ ， $B F_{1} = \sqrt{3 a^{2} + h^{2}}$ ，

$∴ B C^{2} + B F_{1}^{2} = F_{1} C^{2}$ $∴ S_{Δ B F_{1} C} = \frac{1}{2} B C \cdot B F_{1} = \frac{1}{2} a \sqrt{3 a^{2} + h^{2}}$

$V_{D_{1} - B F_{1} C} = \frac{1}{3} S_{Δ B F_{1} C} \times d = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} a \sqrt{3 a^{2} + h^{2}} \times \frac{3 a h}{2 \sqrt{3 h^{2} + 9 a^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{12} a^{2} h$

高中数学人教A版（2019）必修二 8.3 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积