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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

广东省揭阳市2021届高三下学期数学教学质量测试试卷

一、单选题

1. 设集合 ， ，则 （    ）
  1. A .
  2. B .
  3. C .
  4. D .
2. 已知复数 ，则 的虚部为（    ）
  1. A . 2
  2. B . -2
  3. C .
  4. D .
3. 某学校有东、南、西、北四个校门，受新冠肺炎疫情的影响，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园.现有2名教师和3名学生要进入校园（不分先后顺序），请问进入校园的方式共有（    ）
  1. A . 6种
  2. B . 12种
  3. C . 24种
  4. D . 32种
4. 科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1将线段 等分为 ， ， ，如图2以 为底向外作等边三角形 ，并去掉线段 .在图2的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成图3的曲线.设线段 的长度为1，则图3曲线的长度为（    ）

  1. A . 2
  2. B .
  3. C .
  4. D . 3
5. 中医是中国传统文化的瑰宝.中医方剂不是药物的任意组合，而是根据中药配伍原则，总结临床经验，用若干药物配制组成的药方，以达到取长补短、辨证论治的目的.中医传统名方“八珍汤”是由补气名方“四君子汤”（由人参、白术、茯苓、炙甘草四味药组成）和补血名方“四物汤”（由熟地黄、白芍、当归、川芎四味药组成）两个方共八味药组合而成的主治气血两虚证方剂.现从“八珍汤”的八味药中任取四味，取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”的概率是（    ）
  1. A .
  2. B .
  3. C .
  4. D .
6. 在新冠肺炎疫情期间，某学校定期对教室进行药熏消毒.教室内每立方米空气中的含药量 （单位：毫克）随时间 （单位：小时）的变化情况如图所示.在药物释放的过程中， 与 成正比；药物释放完毕后， 与 的函数关系式为 （ 为常数）.据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.2毫克以下时，学生方可进入教室.那么，从药物释放开始到学生能回到教室，至少在（    ）（参考数值 ）

  1. A . 42分钟后
  2. B . 48分钟后
  3. C . 50分钟后
  4. D . 60分钟后
7. 在矩形 中， ， ， ， 分别是 ， 上的动点，且满足 ，设 ，则 的最小值为（    ）
  1. A . 48
  2. B . 49
  3. C . 50
  4. D . 51
8. 已知函数 定义域为 ，满足 ，且对任意 均有 成立，则满足 的 的取值范围是（    ）
  1. A .
  2. B .
  3. C .
  4. D .

二、多选题

9. 已知一组直线为 ，则以该组直线为渐近线的双曲线有（    ）
  1. A .
  2. B .
  3. C .
  4. D .
10. 已知等比数列 的公比为 ，且 ，则下列选项正确的是（    ）
  1. A .
  2. B .
  3. C .
  4. D .
11. 设函数 ，已知 在 上有且仅有1个极大值点，则下列四个结论中正确的有（    ）
  1. A . 在 内有5个零点
  2. B . 在 有2个极小值点
  3. C . 在 上单调递增
  4. D . 可以取
12. 如图，设正方体 的棱长为2， 为 的中点， 为 上的一个动点，设由点 ， ， 构成的平面为 ，则（    ）

  1. A . 平面 截正方体的截面可能是三角形
  2. B . 当点 与点 重合时，平面 截正方体的截面面积为
  3. C . 点 到平面 的距离的最大值为
  4. D . 当 为 的中点时，平面 截正方体的截面为五边形

三、填空题

13. 抛物线 的焦点坐标为．
【第1空】

14. 已知数列 满足： ，则 的前100项和为.
【第1空】

15. 长为 的圆柱形木材有一部分镶嵌在墙体中，截面如图所示（阴影为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦 ，弓形高 ，估算该木材镶嵌在墙中的侧面积约为 .

【第1空】

16. 已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 ， ，则 的面积的最大值为.
【第1空】

四、解答题

17. 在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在 ，它的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ，  ▲  ？


18. 已知数列 的前 项和为 ，且满足 .
（1）求数列 的通项公式；

（2）记 ，求数列 的前 项和 .

19. 太阳能热水器因节能环保而深受广大消费者的青睐，但它也有缺点——持续阴天或雨天便无法正常使用.为了解决这一缺陷，现在的太阳能热水器水箱上都安装了辅助电加热器，如果天气不好或冬季水温无法满足需要时，就可以通过辅助电加热器把水温升高，方便用户使用.某工厂响应“节能减排”的号召，决定把原来给锅炉加热的电热水器更换成电辅式太阳能热水器.电辅式太阳能热水器的耗电情况受当天的日照时长和日均气温影响，假设每天的日照情况和日均气温相互独立，该电辅式太阳能热水器每日耗电情况如下表所示：

日照情况

日均气温不低于15℃

日均气温低于15℃

日照充足

耗电0千瓦时

耗电5千瓦时

日照不足

耗电5千瓦时

耗电10千瓦时

日照严重不足

耗电15千瓦时

耗电20千瓦时

根据调查，当地每天日照充足的概率为 ，日照不足的概率为 ，日照严重不足的概率为 .2020年这一年的日均气温的频率分布直方图如图所示，区间分组为 ， ， ， ， ， .

（1）求图中 的值，并求一年中日均气温不低于15℃的频率；

（2）用频率估计概率，已知该工厂原来的电热水器平均每天耗电20千瓦时，试估计更换电辅式太阳能热水器后这一年能省多少电？（一年以365天计算）

20. 如图1，在梯形 中， ， ， .将 与 分别绕 ， 旋转，使得点 ， 相交于一点，设为点 ，形成图2，且二面角 与二面角 都是45°.

（1）证明：平面 平面 ；

（2）若 ，且梯形 的面积为 ，求二面角 的余弦值.

21. 已知函数 ， .
（1）若直线 是函数 的切线，求 的值；

（2）判断函数 的单调性，并证明.

22. 已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 .设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 是椭圆 上的一个动点（异于椭圆 的左、右端点）.
（1）求椭圆 的方程；

（2）过点 作椭圆 的切线 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，求 面积的最大值.

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