解：如图3中，

∵∠MAF＝∠BAC，∠AFM＝∠ABC＝90°，

∴△AFM∽△ABC，

∴ $\frac{A M}{A C} = \frac{F M}{C B}$ ，

∴FM•AC＝15×6＝90，设FM＝a，则AC＝ $\frac{90}{a}$ ，

连接CM，同法可知B、C、F、M四点共圆，可得∠FMC＝∠FBC＝45°＝∠FCM，

∴FM＝CF＝a，

在Rt△AFM中，∵AM²＝AF²+FM²，

∴ $15^{2} = a^{2} + {(\frac{90}{a} - a)}^{2}$ ，

解得a＝ $\frac{3 \sqrt{10}}{2}$ 或 $6 \sqrt{5}$ （舍弃），

∴AC＝ $6 \sqrt{10}$ ，AF＝ $\frac{9 \sqrt{10}}{2}$ ，AD＝ $6 \sqrt{5}$ ，

由△ADF∽△BCF可得 $\frac{A D}{B C} = \frac{D F}{C F}$ ，

∴ $\frac{6 \sqrt{5}}{6}$ = $\frac{D F}{\frac{3 \sqrt{10}}{2}}$ ，

∴DF＝ $\frac{15 \sqrt{2}}{2}$ ．

故答案为：DF＝ $\frac{15 \sqrt{2}}{2}$ ．

黑龙江省哈尔滨市南岗区征仪路中学2019-2020学年八年级下学期数学期中试卷