解：假设存在

∵∠PAB=∠BAC=45°，

∴PA⊥AC

∵MG⊥x轴于点G，

∴∠MGA=∠PAC=90°

在Rt△AOC中，OA=OC=1，

∴AC= $\sqrt{2}$

在Rt△PAE中，AE=PE=3，

∴AP=3 $\sqrt{2}$

设M点的横坐标为m，则M（m，m²-1）

①点M在y轴左侧时，则m＜-1．

（ⅰ）当△AMG∽△PCA时，有 $\frac{A G}{P A} = \frac{M G}{C A}$ ．

∵AG=-m-1，MG=m²-1．

即 $\frac{- m - 1}{3 \sqrt{2}} = \frac{m^{2} - 1}{\sqrt{2}}$

解得m₁=-1（舍去）m₂= $\frac{2}{3}$ （舍去）．

（ⅱ）当△MAG∽△PCA时有 $\frac{A G}{C A} = \frac{M G}{P A}$ ，

即 $\frac{- m - 1}{\sqrt{2}} = \frac{m^{2} - 1}{3 \sqrt{2}}$ ．

解得：m=-1（舍去）m₂=-2．

∴M（-2，3）．

②点M在y轴右侧时，则m＞1

（ⅰ）当△AMG∽△PCA时有 $\frac{A G}{P A} = \frac{M G}{C A}$

∵AG=m+1，MG=m²-1

∴ $\frac{m + 1}{3 \sqrt{2}} = \frac{m^{2} - 1}{\sqrt{2}}$

解得m₁=-1（舍去）m₂= $\frac{4}{3}$ ．

∴M（ $\frac{4}{3}$ ， $\frac{7}{9}$ ）．

（ⅱ）当△MAG∽△PCA时有 $\frac{A G}{C A} = \frac{M G}{P A}$ ，

即 $\frac{m + 1}{\sqrt{2}} = \frac{m^{2} - 1}{3 \sqrt{2}}$ ．

解得：m₁=-1（舍去）m₂=4，

∴M（4，15）．

∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似

M点的坐标为（-2，3），（ $\frac{4}{3}$ ， $\frac{7}{9}$ ），（4，15）．

内蒙古扎鲁特旗、霍林郭勒市2019-2020学年九年级下学期数学6月月考试卷