解：取

B D

的中点O，

则 $B D ⊥ O A ， B D ⊥ O C$ ，所以 $B D ⊥$ 平面 $A O C$ ，不妨设 $O D = 4 \sqrt{3}$ ，则 $B D = A C = 8 \sqrt{3}$ ， $A O = C O = 12$ ，所以 $\cos ∠ A O C = \frac{144 + 144 - 192}{2 \times 12 \times 12} = \frac{1}{3}$ ，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 $A (4 ， 0 ， 8 \sqrt{2}) ， B (0 ， - 4 \sqrt{3} ， 0) ， C (12 ， 0 ， 0) ， F (6 ， - 2 \sqrt{3} ， 0) ， G (3 ， 3 \sqrt{3} ， 0)$ ，故 $\vec{B A} = (4 ， 4 \sqrt{3} ， 8 \sqrt{2})$ ， $\vec{F G} = (- 3 ， 5 \sqrt{3} ， 0)$ ， $\vec{A C} = (8 ， 0 ， - 8 \sqrt{2})$ ， $\vec{E F} = (4 ， 0 ， - 4 \sqrt{2})$ ，设平面 $E F G H$ 的法向量为 $\vec{n} = (x ， y ， z)$ ，由 ${\begin{array}{l} \vec{n} \cdot \overset{⇀}{E F} = 0 \\ \vec{n} \cdot \overset{⇀}{F G} = 0 \end{array}$ 可得： ${\begin{array}{l} - \sqrt{3} x + 5 y = 0 \\ x - \sqrt{2} z = 0 \end{array}$ ，令 $x = 5 \sqrt{2}$ ，则 $\vec{n} = (5 \sqrt{2} ， \sqrt{6} ， 5)$ ，则 $\cos < \vec{B A} ， \vec{n} > = \frac{\vec{B A} \cdot \vec{n}}{| \vec{B A} | | \vec{n} |} = \frac{18 \sqrt{2}}{9 \times 2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，故直线 $A B$ 与平面 $E F G H$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期理数第一次高考模拟测试试卷