解：因为

A C ⊥ A B_{1}

，且

O

为

B_{1} C

的中点，

所以 $A O = C O$ ，

又因为 $A B = B C$ ，

所以 $△ B O A ≌ △ B O C$ ，

故 $O A ⊥ O B$ ，

从而 $O A ， O B ， O B_{1}$ 两两相互垂直， $O$ 为坐标原点， $\vec{O B}$ 的方向为 $x$ 轴正方向， $| \vec{O B} |$ 为单位长，建立空间直角坐标 $O - x y z$ ，

因为 $∠ C B B_{1} = 60 °$ ，

所以 $△ C B B_{1}$ 为等边三角形，

设 $A B = B C = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，

则 $A (0 ， 0 ， \frac{\sqrt{3}}{3}) ， B (1 ， 0 ， 0) ， B_{1} (0 ， \frac{\sqrt{3}}{3} ， 0) ， C (0 ， - \frac{\sqrt{3}}{3} ， 0)$ ，

$\vec{A B_{1}} = (0 ， \frac{\sqrt{3}}{3} ， - \frac{\sqrt{3}}{3}) ， \vec{A_{1} B_{1}} = \vec{A B} = (1 ， 0 ， - \frac{\sqrt{3}}{3}) ， \vec{B_{1} C_{1}} = \vec{B C} = (- 1 ， - \frac{\sqrt{3}}{3} ， 0)$ ，

设 $\vec{n} = (x ， y ， z)$ 是平面 $A A_{1} B_{1}$ 的法向量，则

${\begin{array}{l} \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{A B_{1}} = 0 \\ \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{A_{1} B_{1}} = 0 \end{array}$ ，

即 ${\begin{array}{l} \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} z = 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} x - \frac{1}{2} z = 0 \end{array}$ ，

所以 $\vec{n} = (1 ， \sqrt{3} ， \sqrt{3})$ .

设 $\vec{m}$ 是平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的法向量，

则 ${\begin{array}{l} \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{A_{1} B_{1}} = 0 \\ \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{B_{1} C_{1}} = 0 \end{array}$ ，

同理可取 $\vec{m} = (1 ， - \sqrt{3} ， \sqrt{3})$ ，

$\cos 〈 \vec{n} ， \vec{m} 〉 = \frac{\vec{n} \cdot \vec{m}}{| \vec{n} | | \vec{m} |} = \frac{1}{7}$ ，

所以二面角 $A - A_{1} B_{1} - C_{1}$ 的余弦值为- $\frac{1}{7}$ .

福建省平潭县新世纪学校2021届高三上学期数学11月适应性练习试卷