解：如图2中，过点D作DF⊥AO，DE⊥AB，连接AD，

∵△ABO是等边三角形，D是OB中点，点A（6，6 $\sqrt{3}$ ）

∴OD=BD=6，∠AOB=∠ABO=60°，AD=6 $\sqrt{3}$ ，

又∵∠DFO=∠DEB=90°，

∴△ODF≌△BDE（AAS）

∴OF=BE，DF=DE，

∵AO=AB，

∴AO﹣OF=AB﹣BE

∴AF=AE，

∵DF=DE，PD=DQ，

∴Rt△DFP≌Rt△DEQ（HL）

∴PF=EQ，

∵OD=6，∠AOD=60°，∠DFO=90°，

∴∠ODF=30°，

∴OF=3，DF= $\sqrt{3}$ OF=3 $\sqrt{3}$ ，

∴AF=AO﹣OF=9=AE，BE=OF=3，

∵AP+AQ=AP+AE+EQ=AP+PF+AE=AF+AE=2AF=18，

∴2t+3t=18，

∴t=3.6，

∴当t=3.6时，D，P，Q三点是能构成使∠PDQ=120°的等腰三角形，

∵Rt△DFP≌Rt△DEQ，

∴S_△_DFP=S_△_DEQ，

∴S_四边形_APDQ=S_四边形_AFDQ=S_△_AOB﹣2S_△_OFD

= $\frac{1}{2}$ ×12×6 $\sqrt{3}$ ﹣2× $\frac{1}{2}$ ×3×3 $\sqrt{3}$

=27 $\sqrt{3}$ ．

湖南省长沙市天心区长郡教育集团2020-2021学年八年级上学期数学期中试卷