解：BD²＋CD²＝2AD².

证明如下：

连接CE，如解图1所示.

∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90°，AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°.

∵∠DAE＝∠CAE＋∠DAC＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE.

在△BAD和△CAE中， ${\begin{array}{l} A B = A C \\ ∠ B A D = ∠ C A E \\ A D = A E \end{array}$

∴△BAD≌△CAE(SAS)，

∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC＝45°，

∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°.

∵∠EAD＝90°，AE＝AD，

∴ED＝ $\sqrt{2}$ AD.

在Rt△ECD中，由勾股定理，

得ED²＝CE²＋CD²，

∴BD²＋CD²＝2AD².

江苏省盐城市阜宁县明达初级中学2020-2021学年八年级上学期数学第一次月考试卷