解：建立如图所示空间直角坐标系，

以0为原点，以 $O A$ 为 $x$ 轴， $O B$ 为 $y$ 轴，过点 $O$ 作面 $A O B$ 的垂线为 $z$ 轴.

则 $O (0 ， 0 ， 0)$ ， $A (2 \sqrt{2} ， 0 ， 0)$ ， $B (0 ， 2 \sqrt{2} ， 0)$ ， $C (- \sqrt{2} ， 0 ， 0)$ ， $D (0 ， - \sqrt{2} ， 0)$ ，

∵ $A O ⊥$ 面 $P B D$ ， $P O \subset$ 面 $P B D$ ，

∴ $A O ⊥ P O$ ，

又∵ $A O = 2 \sqrt{2}$ ， $A P = 2 \sqrt{3}$ ，

∴ $O P = \sqrt{A P^{2} - A O^{2}} = 2$ .

∴ $P (0 ， \sqrt{2} ， \sqrt{2})$ ， $\vec{B D} = (0 ， - 3 \sqrt{2} ， 0)$ .

$\vec{P B} = (0 ， \sqrt{2} ， - \sqrt{2})$ ， $\vec{B C} = (- \sqrt{2} ， - 2 \sqrt{2} ， 0)$

设平面 $P B C$ 的一个法向量 $\vec{n} = (x ， y ， z)$ .

则 ${\begin{array}{l} \vec{n} \cdot \overset{⇀}{B C} = 0 \\ \vec{n} \cdot \overset{⇀}{P B} = 0 \end{array}$ ，即 ${\begin{array}{l} (x ， y ， z) \cdot (0 ， \sqrt{2} ， - \sqrt{2}) = 0 \\ (x ， y ， z) \cdot (- \sqrt{2} ， - 2 \sqrt{2} ， 0) = 0 ， \end{array}$ ，

所以 ${\begin{array}{l} \sqrt{2} y - \sqrt{2} z = 0 \\ - \sqrt{2} x - 2 \sqrt{2} y = 0 ； \end{array}$ ，不妨设 $y = 1$ ，则 $\vec{n} = (- 2 ， 1 ， 1)$ ，

设 $B D$ 与面 $P B C$ 所成角为 $θ$ ，

$\sin θ = | \cos 〈 \vec{B D} ， \vec{n} 〉 |$ $= | \frac{\vec{B D} \cdot \vec{n}}{| \vec{B D} | | \vec{n} |} | = \frac{\sqrt{6}}{6}$ .

浙江省浙南名校联盟2020-2021学年高三上学期数学第一次联考试卷