解：过B作MN的垂线，垂足为D.

在 $R t Δ B A D$ 中， $∠ B A D = \frac{π}{4}$ ，则 $B D = A D$ .

在 $R t Δ B C D$ 中， $\tan ∠ B C D = \frac{B D}{D C} = 3$ ，

所以 $B D = 3 D C$ .

因为 $A C = 4$ ，所以 $B D - \frac{1}{3} B D = 4$ ，

所以 $B D = 6$ .

由 $∠ B P N = θ$ ，则 $B P = \frac{6}{\sin θ}$ ， $D P = \frac{6}{\tan θ}$ .

由 $A D = B D = 6$ ，得 $A P = 6 - \frac{6}{\tan θ}$ .

所以 $f (θ) = 2 \times (6 - \frac{6}{\tan θ}) + 4 \times \frac{6}{\sin θ}$ ，

即 $f (θ) = 12 + 12 \times \frac{2 - \cos θ}{\sin θ}$ ，其中 $θ \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ .

江苏省南通市通州区2019-2020学年高三上学期数学第一次调研抽测试卷