问题4：

法一：延长 $A M$ 交 $E F$ 于点C

过点A作 $A H ⊥ E F$ 于点H，垂足为H

过点B作 $B K ⊥ G F$ 交于点K，垂足为K

$B K$ 交 $A H$ 于点Q

由题可知：在 $△ B N E$ 中， $∠ B N E = 60 ° ， ∠ E = 90^{\circ} ， B E = 1$

$∴ t a n ∠ B N E = \frac{B E}{N E}$

即 $\sqrt{3} = \frac{1}{N E}$

$∴ N E = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$∵ A M / / B N ，$

$∴ ∠ C = 60 ° ，$

又 $∵ ∠ G F E = 90^{\circ} ，$

$∴ ∠ C M F = 30 ° ，$

$∴ ∠ A M G = 30 ° ，$

$∵ ∠ G = 90 ° ， A G = 1 ， ∠ A M G = 30 °$ ，

$∴$ 在 $R t △ A G M$ 中，

$t a n ∠ A M G = \frac{A G}{G M}$ ，

即 $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{G M}$

$∴ G M = \sqrt{3} ，$

$∵ ∠ G = ∠ G F H = 90 ° ， ∠ A H F = 90 ° ，$

$∴$ 四边形 $A G F H$ 为矩形

$∴ A H = F G ，$

$∵ ∠ G F H = ∠ E = 90^{\circ} ， ∠ B H F = 90 °$ ，

$∴$ 四边形 $B K F E$ 为矩形，

$∴ B K = F E ，$

$∵ F N + F M = E F + F G - E N - G M$

$= B K + A H - \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3}$

$= B Q + A Q + Q H + Q K - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

$= B Q + A Q + 2 - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

$∴$ 在 $R t △ A B Q$ 中， $A B = 4$ .

由问题3可知，当 $B Q = A Q = 2 \sqrt{2}$ 时， $A Q + B Q$ 最大

$∴ B Q = A Q = 2 \sqrt{2}$ 时， $F M + F N$ 最大为 $(4 \sqrt{2} + 2 - \frac{4 \sqrt{3}}{3}) c m$

即当 $E F = 2 \sqrt{2} + 1$ 时，感光区域长度之和 $F M + F N$ 最大为 $(4 \sqrt{2} + 2 - \frac{4 \sqrt{3}}{3}) c m$

法二：

延长 $E B 、 G A$ 相交于点H

同法一求得：

$G M = \sqrt{3} ， N E = \frac{\sqrt{3}}{3}$

设 $A H = a ， B H = b$

$∵$ 四边形 $G F E H$ 为矩形，

$∴ G F = E H ， E F = G H ，$

$∴ M F = E H - G M = b + 1 - \sqrt{3}$ .

$F N = E F - N E = a + 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$

$∴ M F - F N = a - b + 2 - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

$∵ a^{2} + b^{2} = 16 ，$

由问题3可知，当 $a = b = 2 \sqrt{2}$ 时，a+b最大

$∴ a = b = 2 \sqrt{2}$ 时 $F M + F N$ 最大为 $(4 \sqrt{2} + 2 - \frac{4 \sqrt{3}}{3}) c m$

即当 $E F = 2 \sqrt{2} + 1$ 时，感光区域长度之和 $F M + F N$ 最大为 $(4 \sqrt{2} + 2 - \frac{4 \sqrt{3}}{3}) c m$ .

2020年江苏省中考数学分类汇编专题13 锐角三角函数