解：成立.

证法一：延长 $E B$ 交 $A D$ 于点 $F$ ，连接 $O F$

$∵ △ A C D$ 和 $△ C B E$ 是等腰三角形， $∠ A D C = ∠ C E B = 90^{°}$

$∴ ∠ B C E = ∠ A C D = ∠ C B E = ∠ D A C = 45^{°} ， B E = C E$

$∵ ∠ B C E + ∠ A C D = ∠ E C D = 90^{°}$

∴四边形 $C D F E$ 是矩形

$∴ D F = C E ， ∠ D F E = ∠ A F E = 90^{°}$

$∵ B E = C E$

$∴ D F = B E$

$∵ O$ 是 $A B$ 的中点

$∴ O F = \frac{1}{2} A B ， A O = O B = \frac{1}{2} A B$

$∴ O F = O B$

$∵ ∠ D A C = 45^{°}$

$∴ ∠ O B F = ∠ A F O = 45^{°}$

$∴ ∠ O B E = 180^{°} - ∠ O B F = 135^{°}$

$∴ ∠ O F D = 180^{°} - ∠ A F O = 135^{°}$

$∴ ∠ O F D = ∠ O B E$

$∴ △ O D F ≌ △ O E B$

$∴ O D = O E ， ∠ D O F = ∠ E O B$

∵在 $Rt △ A B F$ 中， $O$ 是 $A B$ 中点

$∴ O F ⊥ A B$ ，则 $∠ F O C = 90^{°}$

$∵ ∠ D O F + ∠ D O C = 90^{°}$

$∴ ∠ E O B + ∠ D O C = 90^{°}$

$∴ D O ⊥ E O$

$∴ D O ⊥ E O ， D O = E O$ .

证法二：延长 $E O$ 到点 $M$ ，使得 $O M = O E$ ，连接 $A M ， D M ， D E$

$∵ O$ 是 $A B$ 的中点

$∴ O A = O B$

$∵ ∠ A O M = ∠ B O E$

$∴ △ A O M ≌ △ B O E$

$∴ ∠ M A O = ∠ E B O ， M A = E B$

$∵ △ A C D$ 和 $△ C B E$ 是等腰三角形， $∠ A D C = ∠ C E B = 90 °$

$∴ ∠ C A D = ∠ A C D = ∠ E B C = ∠ B C E = 45 °$

$∵ ∠ O B E = 180 ° - ∠ E B C = 135 °$

$∠ M A O = 135 °$

$∴ ∠ M A D = ∠ M A O - ∠ D A C = 90 °$

$∵ ∠ D C E = ∠ D C A + ∠ B C E = 90^{°}$

$∴ ∠ M A D = ∠ D C E$

$∵ M A = E B ， E B = E C$

$∴ M A = E C$

$∵ A D = D C$

$∴ △ M A D ≌ △ E C D$

$∴ M D = E D ， ∠ A D M = ∠ C D E$

$∵ ∠ C D E + ∠ A D E = 90^{°}$

$∴ ∠ A D M + ∠ A D E = 90^{°}$

$∴ ∠ M D E = 90^{°}$

$∵ M O = E O ， M D = D E$

$∴ O D = \frac{1}{2} M E ， O D ⊥ M E$

$∵ O E = \frac{1}{2} M E$

$∴ O D = O E ， O D ⊥ O E$ .

辽宁省铁岭、葫芦岛市2020年中考数学试卷