证明：如图，连接

A P

$∵ △ A B D$ 和 $△ A C E$ 都是等边三角形

$∴ A B = A D$ ， $A E = A C$ ， $∠ A D B = ∠ D B A = ∠ B A D = ∠ C A E = 60 °$

$∴ ∠ C A E + ∠ B A C = ∠ B A D + ∠ B A C$ ，即 $∠ B A E = ∠ D A C$

在 $△ B A E$ 和 $△ D A C$ 中， ${\begin{array}{l} A B = A D \\ ∠ B A E = ∠ D A C \\ A E = A C \end{array}$

$∴ △ B A E ≅ △ D A C (S A S)$

$∴ ∠ A D C = ∠ A B E$

$∴ ∠ B P C = ∠ P D B + ∠ D B P = ∠ P D B + ∠ D B A + ∠ A B E$

$= ∠ P D B + ∠ D B A + ∠ A D C$

$= ∠ A D B + ∠ D B A = 120 °$

$∠ B P F = 180 ° - ∠ B P C = 60 °$

在 $△ A F D$ 和 $△ P F B$ 中， ${\begin{array}{l} ∠ A F D = ∠ P F B \\ ∠ D A F = ∠ B P F = 60 ° \end{array}$

$∴ △ A F D \sim △ P F B$

$∴ \frac{A F}{P F} = \frac{D F}{B F}$ ，即 $\frac{A F}{D F} = \frac{P F}{B F}$

在 $△ A P F$ 和 $△ D B F$ 中， ${\begin{array}{l} \frac{A F}{D F} = \frac{P F}{B F} \\ ∠ A F P = ∠ D F B \end{array}$

$∴ △ A P F \sim △ D B F$

$∴ ∠ A P F = ∠ D B F = 60 °$

$∴ ∠ A P B = ∠ A P F + ∠ B P F = 60 ° + 60 ° = 120 °$

$∴ ∠ A P C = 360 ° - ∠ B P C - ∠ A P B = 120 °$

$∴ ∠ A P B = ∠ B P C = ∠ A P C$

则点 $P$ 是 $△ A B C$ 的“恒等心”.

江苏省扬州市梅岭中学教育集团2020年数学中考二模试卷