解：①

∵ ∠ D B C < ∠ A B C

，

$∴ 60^{°} < α < 120^{°}$ .

如图1，将 $△ A B D$ 绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，得到 $△ A C D'$ ，连接 $B D'$ .

$∵ A B = A C$ ，

$∴ ∠ A B C = ∠ A C B$ ，

$∵ ∠ B A C = α$ ，

$∴ ∠ A B C = \frac{1}{2} (180^{°} - α) = 90^{°} - \frac{1}{2} α$ ，

$∴ ∠ A B D = ∠ A B C - ∠ D B C = 90^{°} - \frac{1}{2} α - β$ ，

$∴ ∠ D^{'} C B = ∠ A C D^{'} + ∠ A C B = 90^{°} - \frac{1}{2} α - β + 90^{°} - \frac{1}{2} α = 180^{°} - (α + β)$ .

$∵ α + β = 120^{°} ，$

$∴ ∠ D^{'} C B = 60^{°}$ .

$∵ B D = B C ， B D = C D^{'}$ ，

$∴ B C = C D^{'} ，$

$∴ △ D^{'} B C$ 为等边三角形，

$∴ D^{'} B = D^{'} C$ ，

$∴ △ A D^{'} B ≌ △ A D^{'} C$ ，

$∴ ∠ A D^{'} B = ∠ A D^{'} C$ ，

$∴ ∠ A D^{'} B = \frac{1}{2} ∠ B D^{'} C = 30^{°}$ ，

$∴ ∠ A D B = 30^{°}$ .

②如图2，由①知， $∠ A D B = 30^{°}$ ，

在 $R t △ A D E$ 中， $∠ A D B = 30^{°} ， A D = 2$ ，

$∴ D E = \sqrt{3}$ .

$∵ △ B C D^{'}$ 是等边三角形，

$∴ B D^{'} = B C = 7$ ，

$∴ B D = B D^{'} = 7$ ，

$∴ B E = B D - D E = 7 - \sqrt{3}$ .

陕西省西安市莲湖区2019-2020学年八年级下学期数学期末考试试卷 25