解：①作

E G ⊥ O C

于G，

∵ $O P$ 平分 $∠ C O D$ ， $E C ⊥ O C$ ， $E G ⊥ O D$ ，

∴ $E C = E G$ ，

设 $E C = E G = x$ ，

∵ $\sin ∠ C D O = \frac{E G}{E D} = \frac{C O}{D O}$ ，

∴ $\frac{x}{6 - x} = \frac{8}{10}$ ，

∴ $x = \frac{8}{3}$ ，

∴ $E (\frac{8}{3} ， 8)$

设 $O P$ 对应函数表达式为 $y = k x (k \neq 0)$ ，

把 $E (\frac{8}{3} ， 8)$ 代入，得 $k = 3$ ，

∴ $O P$ 对应函数表达式为 $y = 3 x$ .

∵ $a = - \frac{1}{2}$ ，

∴二次函数表达式为 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 8$ ，

∴ ${\begin{array}{l} y = 3 x ， \\ y = - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 8 ， \end{array}$ ，

解得 ${\begin{array}{l} x = 4 ， \\ y = 12 ， \end{array}$ 或 ${\begin{array}{l} x = - 4 ， \\ y = - 12 ， \end{array}$ （舍去）

∴点 $P (4 ， 12)$ .

②∵当 $x = 2$ 时， $y = 12$ ，∴点 $F (2 ， 12)$ .

设直线 $C F$ 的函数表达式为 $y = k x + b (k \neq 0)$

把点 $C (0 ， 8)$ 、点 $F (2 ， 12)$ 代入，

得 ${\begin{array}{l} b = 8 ， \\ 2 k + b = 12 ， \end{array}$

解得 ${\begin{array}{l} k = 2 ， \\ b = 8. \end{array}$

∴直线 $F$ 的函数表达式为 $y = 2 x + 8$ ，

∴点 $G (- 4 ， 0)$ ，

∴ $O G = 4$ .

∵ $∠ P C Q = ∠ B G C$ ，

∴ $\tan ∠ P C Q = \tan ∠ B G C$ ，

∴ $\frac{P Q}{C Q} = \frac{C O}{G O} = 2$ .

（Ⅰ）若点Q在C点上方，如图②.

过点Q作x轴的平行线，交y轴于点M.

∵ $∠ P C Q = ∠ B G C$ ，

∴ $C P // x$ 轴，

∵ $C D // x$ 轴，

∴点P与点D重合， $M Q // C P$ ，

∴ $∠ M Q C = ∠ Q C P$ ，

∴ $\tan ∠ M Q C = \tan ∠ Q C P = 2$ ，

∴设 $M Q = k$ ， $C M = 2 k$ ，

∵ $M Q // x$ 轴，

∴ $∠ Q M C = 90 °$ ，

∴ $C Q = \sqrt{5} k$ ， $P Q = 2 \sqrt{5} k$ ，

∵ $P Q ⊥ C F$ ，

∴ $C Q^{2} + P Q^{2} = C P^{2}$ ，

∴ ${(\sqrt{5} k)}^{2} + {(2 \sqrt{5} k)}^{2} = 36$ ，

∴ $k = \frac{6}{5}$ 或 $k = - \frac{6}{5}$ （舍去），

∴ $M Q = \frac{6}{5}$ .

把 $x = \frac{6}{5}$ 代入 $y = 2 x + 8$

得， $y = \frac{52}{5}$ .

∴ $Q (\frac{6}{5} ， \frac{52}{5})$ .

（Ⅱ）若点Q在点C下方，如图③.

过点Q作 $M Q // y$ 轴，交 $D C$ 的延长线于点M，过点P作 $M Q$ 的垂线，垂足为N，交y轴于点K.

∴ $∠ M = ∠ N = ∠ M C K = 90 °$ ，

∴四边形 $C M N K$ 是正方形，

∴ $K N = C M$

∵ $C D // x$ 轴，

∴ $∠ M C Q = ∠ B G C$ ， $∠ M = ∠ N = 90 °$ ，

∴ $\tan ∠ M C Q = \tan ∠ B G C = \tan ∠ P C Q = 2$ ，

∴设 $C M = k$ ， $M Q = 2 k$ ，

∵ $∠ M C Q + ∠ M Q C = 90 °$ ， $∠ M Q C + ∠ N Q P = 90 °$ ，

∴ $∠ M C Q = ∠ N Q P$ ，

又∵ $∠ M = ∠ N = 90 °$ ，

∴ $△ C M Q \sim △ Q N P$ ，

∴ $\frac{Q N}{C M} = \frac{P N}{Q M} = \frac{P Q}{Q C} = 2$

∴ $Q N = 2 k$ ， $P N = 4 k$ ，

∴ $P K = 3 k$ ， $O K = 4 k - 8$ ，

∴ $P (3 k ， 8 - 4 k)$ ，

代入 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 8$ ，得

$8 - 4 k = - \frac{1}{2} \cdot 9 k^{2} + 9 x + 8$ ，

∴ $k_{1} = 0$ （舍去）， $k_{2} = \frac{26}{9}$ ，

∴ $x_{Q} = - \frac{26}{9}$ ，

代入 $y = 2 x + 8$ 得

$y = \frac{20}{9}$ ，

∴ $Q (- \frac{26}{9} ， \frac{20}{9})$ .

综上所述， $Q (\frac{6}{5} ， \frac{52}{5})$ 或 $Q (- \frac{26}{9} ， \frac{20}{9})$ .

江苏省常熟市2020年数学中考一模试卷