解：如图a∥b∥c∥d，

∵⊙O的半径r=2，随心点范围 $\frac{1}{2} r \leq d \leq \frac{3}{2} r$ ，

∴ $1 \leq d \leq 3$ ，

∵直线MN的解析式为y=x+b，

∴x=0时，y=b；y=0时，x=-b，

∴OM=ON，

∴直线MN与y轴夹角为45°，

①点N在y轴正半轴时，

当点M是⊙O的“随心点”，此时，点M（-1，0），

将M（-1，0）代入直线MN的解析式y=x+b中，0=-1+b，

解得，b=1，

∴b的最小值为1，

过点O作OG⊥M'N'于G，

当点G是距离⊙O最远的其中一个“随心点”时，此时OG=3，

在Rt△ON'G中，∠ON'G=45°，

∴GO=3

∴在Rt△GNN’中， $\sin ∠ G N' N = \sin 45 ° = \frac{O G}{O N'} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，

解得ON' $= 3 \sqrt{2}$ ，

将N'（0， $3 \sqrt{2}$ ）代入直线MN的解析式y=x+b中， $3 \sqrt{2}$ =b，

∴b的最大值为 $3 \sqrt{2}$ ，

∴ $1 \leq b \leq 3 \sqrt{2}$ ，

②当点N在y轴负半轴时，同①的方法得出 $- 3 \sqrt{2} \leq b \leq - 1$ ，

综上所述，b的取值范围为 $1 \leq b \leq 3 \sqrt{2}$ 或 $- 3 \sqrt{2} \leq b \leq - 1$ .

江苏省南京市鼓楼实验中学2020年数学中考模拟试卷（4月）