解：连结

C M

，

由已知可得， $M B = B C = C M$ ，所以 $△ M B C$ 为等边三角形，

所以 $∠ A B C = 60 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ，所以 $∠ A C B = 90 °$ ，

即 $B C ⊥ A C$ ，所以 $A C = \sqrt{3}$ ，

分别以 $C A ， C D ， C D_{1}$ 所在的直线为 $x ， y ， z$ 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则 $A (\sqrt{3} ， 0 ， 0)$ ， $A_{1} (\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2} ， \sqrt{3})$ ， $C (0 ， 0 ， 0)$ ， $B (0 ， 1 ， 0)$ ， $D_{1} (0 ， 0 ， \sqrt{3})$ ， $C_{1} (- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2} ， \sqrt{3})$ ， $B_{1} (- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{3}{2} ， \sqrt{3})$ ，所以 $M (\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2} ， 0)$ ， $N (- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2} ， \sqrt{3})$ ，

可得 $\vec{M A_{1}} = (0 ， 0 ， \sqrt{3})$ ， $\vec{M N} = (- \sqrt{3} ， \frac{1}{2} ， \sqrt{3})$ ， $\vec{C A} = (\sqrt{3} ， 0 ， 0)$ ， $\vec{C C_{1}} = (- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2} ， \sqrt{3})$ .

设平面 $A_{1} M N$ 的法向量为 $\vec{m} = (x ， y ， z)$ ，所以 ${\begin{array}{l} \overset{⇀}{M A_{1}} \cdot \overset{⇀}{m} = 0 \\ \overset{⇀}{M N} \cdot \overset{⇀}{m} = 0 \end{array}$ ，即 ${\begin{array}{l} \sqrt{3} z = 0 \\ - \sqrt{3} x + \frac{1}{2} y + \sqrt{3} z = 0 \end{array}$ ，取 $x = \sqrt{3}$ ，解得 $y = 6 ， z = 0$ ，所以 $\vec{m} = (\sqrt{3} ， 6 ， 0)$ ，

设平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (x_{1} ， y_{1} ， z_{1})$ ， ${\begin{array}{l} \overset{⇀}{C A} \cdot \overset{⇀}{n} = 0 \\ \overset{⇀}{C C_{1}} \cdot \overset{⇀}{n} = 0 \end{array}$ ，即 ${\begin{array}{l} \sqrt{3} x = 0 \\ - \frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{1}{2} y + \sqrt{3} z = 0 \end{array}$ ，

取 $z = - \sqrt{3}$ ，可得 $x = 0 ， y = 6$ ，所以 $\vec{n} = (0 ， 6 ， - \sqrt{3})$ ，

设平面 $A_{1} M N$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成二面角的大小为 $θ$ ，

所以 $| \cos θ | = | \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{| \vec{m} | \cdot | \vec{n} |} | = \frac{36}{39} = \frac{12}{13}$ ，则 $\sin θ = \sqrt{1 - \cos^{2} θ} = \frac{5}{13}$

所以平面 $A_{1} M N$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成二面角的正弦值为 $\frac{5}{13}$ .

山东省淄博市部分学校2020届高三数学6月阶段性诊断考试（二模)试卷