解：如图所示，分别以直线

B A ， B C ， B B_{1}

为

x ， y ， z

轴建立空间直角坐标系，

则 $B (0 ， 0 ， 0)$ ， $A (2 ， 0 ， 0)$ ， $A_{1} (2 ， 0 ， 2)$ ， $C_{1} (0 ， 2 ， 2)$ ， $D (0 ， 0 ， 1)$ ， $E (2 ， 2 ， 0)$ ， $\vec{A_{1} E} = (0 ， 2 ， - 2)$ ，

$\vec{A D} = (- 2 ， 0 ， 1)$ ， $\vec{A C_{1}} = (- 2 ， 2 ， 2)$ ，

设平面 $A D C_{1}$ 的法向量 $\vec{n} = (x ， y ， z)$ ，由 ${\begin{array}{l} \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{A D} = 0 \\ \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{A C_{1}} = 0 \end{array}$ 得 ${\begin{array}{l} - 2 x + z = 0 \\ - 2 x + 2 y + 2 z = 0 \end{array}$ ，

取 $x = 1$ 得 $\vec{n} = (1 ， - 1 ， 2)$ ，

设直线 $A_{1} E$ 与平面 $A C_{1} D$ 所成的角为 $θ$ ，

则 $\sin θ = \frac{| \vec{A_{1} E} \cdot \vec{n} |}{| \vec{A_{1} E} | \cdot | \vec{n} |} = \frac{| 0 \times 1 + 2 \times (- 1) + (- 2) \times 2 |}{2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，

所以直线 $A_{1} E$ 与平面 $A C_{1} D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

江西省稳派教育2020届高三下学期理数调研考试（三)试卷