解：由题意，

O D ⊥ O C

，

O B ⊥ O C

，

又由（1）知 $O B ⊥ O D$ ，

且 $O C ， O D \subset$ 平面 $A C D$ ， $O C \cap O D = O$ ，则 $O B ⊥$ 平面 $A C D$ ，

故以 $O$ 为坐标原点，分别以 $\vec{O D}$ ， $\vec{O C}$ ， $\vec{O B}$ 方向为 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 轴正向建立空间直角坐标系，

由于 $O D = O B = 6$ ，则 $O C = O A = \sqrt{12^{2} - 6^{2}} = 6 \sqrt{3}$ ，

易知 $D (6 ， 0 ， 0)$ ， $A (0 ， - 6 \sqrt{3} ， 0)$ ， $M (0 ， 3 \sqrt{3} ， 3)$ ，

故 $\vec{A M} = (0 ， 9 \sqrt{3} ， 3)$ ， $\vec{A D} = (6 ， 6 \sqrt{3} ， 0)$ ，

设平面 $M A D$ 的法向量 $\vec{m} = (x ， y ， z)$ ，则 ${\begin{array}{l} \vec{m} \cdot \vec{A M} = 0 ， \\ \vec{m} \cdot \vec{A D} = 0 ， \end{array}$ ，

即 ${\begin{array}{l} 9 \sqrt{3} y + 3 z = 0 ， \\ 6 x + 6 \sqrt{3} y = 0 ， \end{array}$ 令 $y = - \sqrt{3}$ ，

则 $x = 3$ ， $z = 9$ ， $\vec{m} = (3 ， - \sqrt{3} ， 9)$ ，

由于已证 $O B ⊥$ 平面 $A C D$ ，故平面 $A C D$ 的法向量为 $\vec{O B =} \vec{n} = (0 ， 0 ， 1)$ ，

所以 $\cos 〈 \vec{m} ， \vec{n} 〉 = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{| \vec{m} | | \vec{n} |} = \frac{9}{\sqrt{93}} = \frac{3 \sqrt{93}}{31}$ ，

由图知二面角 $M - A D - C$ 为锐二面角，故其余弦值为 $\frac{3 \sqrt{93}}{31}$ .

江西省名师联盟2020届高三5月联考理科数学试题