解：小球在管道运动时，洛仑兹力始终不做功，对小球运动到最低点的过程中，由动能定理：mgR+qER＝△E_k

由题意： $E = \frac{m g}{q}$

联合以上两式得：动能的增量△E_k＝2mgR

求最大速度方法一：

当小球到达管道中方位角为θ的位置（如图所示）进，应用动能定理有：

$m g R \sin θ + E q (R + R c o s θ) = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2}$

即： $v^{2} = \frac{q^{2} B^{2} R^{2}}{m^{2}} + 2 g R + 2 g R (\sin θ + c o s θ)$

对函数y＝sinθ+cosθ求极值，可得θ＝45°时，y_max＝ $\sqrt{2}$

所以v_m＝ $\sqrt{\frac{q^{2} B^{2} R^{2}}{m^{2}} + (2 + 2 + \sqrt{2}) g R}$

求最大速度方法二：

如图所示，根据场的叠加原理，小球所受的等效重力为： $m g' = \sqrt{{(m g)}^{2} + {(E q)}^{2}} \sqrt{2} m g$

$\tan ϕ = \frac{m g}{E q} = 1$

即 φ＝45°

小球在等效重力场的最低点时，即当小球到达管道中方位角为θ＝∅＝45°时，

速度最大．

由动能定理： $m g R \sin θ + q E (R + R s i n θ) = \frac{1}{2} m v_{m}^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2}$

解得：v_m＝ $\sqrt{\frac{q^{2} B^{2} R^{2}}{m^{2}} + (2 + 2 + \sqrt{2}) g R}$

答：现把管道固定在竖直面内，且两管口等高，磁场仍保持和管道平面垂直，如图所示，空间再加一个水平向右、场强E＝ $\frac{m g}{q}$ 的匀强电场（未画出），若小球仍以v₀的初速度沿切线方向从左边管口射入，则小球：①运动到最低点的过程中动能的增量为2mgR；②在管道运动全程中获得的最大速度 $\sqrt{\frac{q^{2} B^{2} R^{2}}{m^{2}} + (2 + 2 + \sqrt{2}) g R}$ ．

云南省楚雄州楚雄一中2020年高考物理模拟试卷（4月份）