解：①连接EG、EH

∵

\overset{⌢}{G H}

的长为

\frac{4}{3} π

，

∴∠GEH= $\frac{4}{3} π$ ×180°÷ $\frac{π O D}{2}$ =60°

∵EG=EH

∴△EGH为等边三角形

∴∠EGH=60°

∴ $∠ A^{'} G E = 120 °$

∵ $∠ C A O = ∠ C^{'} A^{'} O = 60 °$

∴∠EGH= $∠ C^{'} A^{'} O$

∴GE∥直线l

∴∠GED= $∠ A^{'} O D = 90 °$

∵EG=EO

∴∠EGO=∠EOG= $\frac{1}{2} ∠ G E D = 45 °$

∴ $∠ A^{'} G O$ = $∠ A^{'} G E$ －∠EGO=75°

②当 $A^{'} C^{'}$ 与半圆 $E$ 相切时，切点为P，连接 $A^{'} E$ 、PE

∴EP⊥ $A^{'} C^{'}$ ，EO⊥直线l，EP=EO

∴ $A^{'} E$ 平分∠ $C^{'} A^{'} O$

∴∠ $E A^{'} O$ = $\frac{1}{2}$ ∠ $C^{'} A^{'} O$ =30°

在Rt△ $E A^{'} O$ 中， $A^{'} O$ = $\frac{E O}{\tan ∠ E A^{'} O} = 4 \sqrt{3}$

∴平移距离 $A^{'} A$ =AO－ $A^{'} O$ =10－ $4 \sqrt{3}$ ；

当 $A^{'} B^{'}$ 与半圆 $E$ 相切时，切点为P，连接EP并延长交直线l于点F，连接 $A^{'} E$

∴∠EPA′=∠FPA′=90°，A′O=A′P

∵ $∠ C A O = ∠ C^{'} A^{'} O = 60 °$ ， $∠ C A B = ∠ C^{'} A^{'} B^{'} = 90 °$

∴∠ $B^{'} A^{'} A$ =180°－ $∠ C^{'} A^{'} O$ － $∠ C^{'} A^{'} B^{'}$ =30°

∴∠PFA′=60°，cos∠ $B^{'} A^{'} A$ = $\frac{A^{'} P}{A^{'} F} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

∴ $A^{'} F = \frac{2 \sqrt{3}}{3} A^{'} P = \frac{2 \sqrt{3}}{3} A^{'} O$

在Rt△OFE中，OF= $\frac{O E}{\tan ∠ P F A^{'}} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

∵ $A^{'} F + A^{'} O = O F$

∴ $\frac{2 \sqrt{3}}{3} A^{'} O + A^{'} O = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

解得： $A^{'} O = 8 - 4 \sqrt{3}$

∴平移距离 $A^{'} A$ =AO－ $A^{'} O$ =2＋ $4 \sqrt{3}$

综上：平移距离为10－ $4 \sqrt{3}$ 或2＋ $4 \sqrt{3}$ ．

河北省邯郸市第二十五中学2020年中考数学二模试卷