解：①连接PB，过点P作PG⊥BC于G.

∵四边形ABCP为菱形，∴BC＝PA＝PB＝PC.

∴△PBC为等边三角形.

在Rt△PBG中，∠PBG＝60°，

设PB＝PA＝a，BG＝ $\frac{a}{2}$

由勾股定理得：PG＝ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ a，

所以P（a， $\frac{\sqrt{3} a}{2}$ ），将P点坐标代入y＝ $\frac{2 \sqrt{3}}{x}$ ，

解得：a＝2或﹣2（舍去负值），

∴PG＝ $\sqrt{3}$ ，PA＝BC＝2.

又四边形OGPA是矩形，PA＝OG＝2，BG＝CG＝1，

∴OB＝OG﹣BG＝1，OC＝OG+GC＝3.

∴A（0， $\sqrt{3}$ ），B（1，0），C（3，0）；

设：二次函数的解析式为：y＝ax²+bx+c，

根据题意得：a+b+c＝0，9a+3b+c＝0，而c＝ $\sqrt{3}$

解得：a＝ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，b＝﹣ $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，c＝ $\sqrt{3}$ ，

∴二次函数的解析式为：y＝ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ x²﹣ $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ x+ $\sqrt{3}$ ；

②设直线BP的解析式为：y＝ux+v，据题意得： ${\begin{array}{l} u + v = 0 \\ 2 u + v = \sqrt{3} \end{array}$

解之得：u＝ $\sqrt{3}$ ，v＝﹣ $\sqrt{3}$ .

∴直线BP的解析式为：y＝ $\sqrt{3}$ x﹣ $\sqrt{3}$ ，

过点A作直线AM∥BP，则可得直线AM的解析式为： $y = \sqrt{3} x + \sqrt{3}$ .

解方程组： ${\begin{array}{l} y = \sqrt{3} x + \sqrt{3} \\ y = \frac{\sqrt{3}}{3} x^{2} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} x + \sqrt{3} \end{array}$

得： ${\begin{array}{l} x_{1} = 0 \\ y_{1} = \sqrt{3} \end{array}$ ； ${\begin{array}{l} x_{2} = 7 \\ y_{2} = 8 \sqrt{3} \end{array}$ .

过点C作直线CM∥PB，则可设直线CM的解析式为： $y = \sqrt{3} x + t$ .

∴0＝ $3 \sqrt{3} + t$ .

∴ $t = - 3 \sqrt{3}$ .

∴直线CM的解析式为： $y = \sqrt{3} x - 3 \sqrt{3}$ .

解方程组： ${\begin{array}{l} y = \sqrt{3} x - 3 \sqrt{3} \\ y = \frac{\sqrt{3}}{3} x^{2} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} x + \sqrt{3} \end{array}$

得： ${\begin{array}{l} x_{1} = 3 \\ y_{1} = 0 \end{array}$ ； ${\begin{array}{l} x_{2} = 4 \\ y_{2} = \sqrt{3} \end{array}$ .

综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为（0， $\sqrt{3}$ ），（3，0），（4， $\sqrt{3}$ ），（7， $8 \sqrt{3}$ ）.

湖北省荆州市2020年九年级调研考试数学试卷