解：存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方.

设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（ $a ， - \frac{1}{2} a^{2} + \frac{3}{2} a + 2$ ），

①当P点在y轴右侧时（如图1），CQ=a，

PQ= $2 - (- \frac{1}{2} a^{2} + \frac{3}{2} a + 2) = \frac{1}{2} a^{2} - \frac{3}{2} a$ .

又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，

∴∠FQ′P=∠OCQ′，∴△COQ′∽△Q′FP，

∴ $\frac{Q' C}{CO} = \frac{Q' P}{FQ'}$ ，即 $\frac{a}{2} = \frac{\frac{1}{2} a^{2} - \frac{3}{2} a}{FQ'}$ ，解得F Q′=a﹣3

∴OQ′=OF﹣F Q′=a﹣（a﹣3）=3，

$CQ=CQ' = \sqrt{{CO}^{2} +OQ'^{2}} = \sqrt{3^{2} {+2}^{2}} = \sqrt{13}$ .

此时a= $\sqrt{13}$ ，点P的坐标为（）.

②当P点在y轴左侧时（如图2）此时a＜0， $- \frac{1}{2} a^{2} + \frac{3}{2} a + 2$ ＜0，CQ=﹣a，（无图）

PQ= $2 - (- \frac{1}{2} a^{2} + \frac{3}{2} a + 2) = \frac{1}{2} a^{2} - \frac{3}{2} a$ .

又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°，

∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°.

∴△COQ′∽△Q′FP.

∴ $\frac{Q' C}{CO} = \frac{Q' P}{FQ'}$ ，即 $\frac{- a}{2} = \frac{\frac{1}{2} a^{2} - \frac{3}{2} a}{FQ'}$ ，解得F Q′=3﹣a.

∴OQ′=3， $CQ=CQ' = \sqrt{3^{2} {+2}^{2}} = \sqrt{13}$ .

此时a=﹣ $\sqrt{13}$ ，点P的坐标为（ $- \sqrt{13} ， \frac{- 9 - 3 \sqrt{13}}{2}$ ）.

综上所述，满足条件的点P坐标为（），（ $- \sqrt{13} ， \frac{- 9 - 3 \sqrt{13}}{2}$ ）.

湖北省孝感市云梦县外国语学校2020年数学中考二模试卷