解：当

k = - \frac{1}{2}

时，直线方程为

y = - \frac{1}{2} x + 6

.

联立方程组 ${\begin{matrix} y = - \frac{1}{2} x + 6 ， \\ y = \frac{1}{4} x^{2} - x ． \end{matrix}$ 解得 $A (6 ， 3)$ ， $B (- 4 ， 8)$ .

① 如图1，作 $P Q$ ∥ $y$ 轴，交AB于点Q，则

$P Q = (- \frac{1}{2} x + 6) - (\frac{1}{4} x^{2} - x) = - \frac{1}{4} {(x - 1)}^{2} + \frac{25}{4}$ .

$S_{△ P A B} = \frac{1}{2} | 6 - (- 4) | \times P Q$ $= - \frac{5}{4} {(x - 1)}^{2} + \frac{125}{4}$ 。

令 $S_{△ P A B} = 20$ ，即 $- \frac{5}{4} {(x - 1)}^{2} + \frac{125}{4} = 20$ ，解得当 $x = - 2$ 或4，相应的P点坐标为 $(4 ， 0)$ ， $(- 2 ， 3)$ ；

② $P_{1} (7 ， \frac{21}{4})$ ， $P_{2} (1 ， - \frac{3}{4})$ ， $P_{3} (- \frac{4}{3} ， \frac{16}{9})$ ， $P_{4} (\frac{28}{3} ， \frac{112}{9})$ .

$A O = 3 \sqrt{5}$ ， $B O = 4 \sqrt{5}$ ， $A B = 5 \sqrt{5}$ .

∵ $A B^{2} = A O^{2} + B O^{2}$ ，∴ $∠ A O B = 90 °$ .

（i）△POC∽△ABO时， $\frac{P C}{O C} = \frac{A O}{B O} = \frac{3}{4}$ .

即 $| \frac{1}{4} x^{2} - x | = \frac{3}{4} | x |$ .解得 $x_{1} = 7$ ， $x_{2} = 1$ ，

得 $P_{1} (7 ， \frac{21}{4})$ ， $P_{2} (1 ， - \frac{3}{4})$ ；

（ii）△POC∽△BAO时， $\frac{P C}{O C} = \frac{B O}{A O} = \frac{4}{3}$ .

即 $| \frac{1}{4} x^{2} - x | = \frac{4}{3} | x |$ .解得 $x_{3} = - \frac{4}{3}$ ， $x_{4} = \frac{28}{3}$ .

得 $P_{3} (- \frac{4}{3} ， \frac{16}{9})$ ， $P_{4} (\frac{28}{3} ， \frac{112}{9})$ .

江苏省南京市鼓楼区2020年数学中考模拟试卷