解：存在某一时刻，使△OMP是等腰三角形．

理由如下：①如备用图1，过点P作PG⊥AO于点G，若PO=PM，则OG=GM=CN=x，

即3x=4，解得：x= $\frac{4}{3}$ ；

②如备用图2，过点P作PG⊥AO于点G，若OP=OM，CN=x，则OP= OM= 4﹣x，

由勾股定理，得OB= $\sqrt{O C^{2} + B C^{2}}$ = $\sqrt{3^{2} + 4^{2}}$ =5，

∵NP∥OC，∴ $\frac{O P}{O B} = \frac{C N}{C B}$ ，即 $\frac{O P}{5} = \frac{x}{4}$ ，

∴OP= $\frac{5}{4}$ x，即 $\frac{5}{4}$ x=4﹣x，

解得：x= $\frac{16}{9}$ ；

③如备用图3，过点P作PQ⊥OA，垂足为Q，

若OM=PM时，则PM=OM=4﹣x，OQ=CN=x，则MQ=x-(4-x)=2x﹣4，

在Rt△MPQ中，PQ²+QM²=MP²，即（ $\frac{3}{4}$ x）²+（2x﹣4）²=（4﹣x）²，

解得：x= $\frac{128}{57}$ ，

综上所述，当x的值为 $\frac{4}{3}$ 秒或 $\frac{16}{9}$ 秒或 $\frac{128}{57}$ 秒时，△OMP是等腰三角形．

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