解：如图，由题意∠M′CN=∠NCB，

∵MN∥OM′，

∴∠M′CN=∠CNM，

∴∠CNM =∠NCB，

∴MN=CM，

∵直线BC解析式为 $y = - \frac{3}{4} x + 3 ，$

∴ $M (m ， - \frac{3}{4} m + 3)$ ， $N (m ， - \frac{3}{8} m^{2} + \frac{3}{4} m + 3)$ ，作ME⊥OC于E，

∵ $sin ∠ B C O = \frac{E M}{M C} = \frac{B O}{B C} ，$

∴ $\frac{m}{C M} = \frac{4}{5} ，$

∴ $C M = \frac{5}{4} m ，$

①当N在直线BC上方时， $- \frac{3}{8} m^{2} + \frac{3}{4} m + 3 - (- \frac{3}{4} m + 3) = \frac{5}{4} m ，$

解得：m= $\frac{2}{3}$ 或0（舍弃），

∴Q（ $\frac{2}{3}$ ，0），

②当N在直线BC下方时， $- \frac{3}{4} m + 3 - (- \frac{3}{8} m^{2} + \frac{3}{4} m + 3) = \frac{5}{4} m ，$

解得m= $\frac{22}{3}$ 或0（舍弃），

∴Q（ $\frac{22}{3}$ ，0）

综上所述：点Q坐标为（ $\frac{2}{3}$ ，0）或Q（ $\frac{22}{3}$ ，0）.

江苏省无锡市锡山区（锡北片)2019届九年级下学期数学期中考试试卷