解：①∵

O Q \geq 3 > O P

∴ $∠ O Q P \neq 90 °$

②当 $∠ O P Q = 90 °$ 时

过点P作CD⊥x轴于点D，交直线y=3于点C

则 $∠ O D P = ∠ P C Q = 90 °$

∴ $∠ O P D + ∠ P O D = 90 °$

∵ $∠ O P Q = 90 °$

∴ $∠ O P D + ∠ C P Q = 90 °$

∴ $∠ P O D = ∠ C P Q$

∴△OPD∽△PQC

∴ $\frac{O D}{C P} = \frac{O P}{P Q} = \frac{1}{2}$ 或 $\frac{O D}{C P} = \frac{O P}{P Q} = 2$

设OD=a，则CP=2a或 $\frac{1}{2} a$

∴PD=3-2a或3- $\frac{1}{2} a$

在Rt△OPD中， $O P^{2} = P D^{2} + O D^{2}$

若PD=3-2a

则 ${(3 - 2 a)}^{2} + a^{2} = 2^{2}$

解得： $a_{1} = \frac{6 + \sqrt{11}}{5}$ （舍去）， $a_{2} = \frac{6 - \sqrt{11}}{5}$

若PD=3- $\frac{1}{2} a$

则 ${(3 - \frac{1}{2} a)}^{2} + a^{2} = 2^{2}$

方程无解

∴点P $(\frac{6 - \sqrt{11}}{5} ， \frac{3 + 2 \sqrt{11}}{5})$

③当 $∠ O P Q = 90 °$ 时

分别过点P，Q作PE⊥x轴于点E，QF⊥x轴于点F

同②理：△OPE∽△QOF

∴ $\frac{O E}{Q F} = \frac{O P}{O Q} = \frac{1}{2}$ 或 $\frac{O E}{Q F} = \frac{O P}{O Q} = 2$

∵ $Q F = 3$

∴OE=6(舍去)，或OE= $\frac{3}{2}$

∴PE= $\sqrt{O P^{2} - O E^{2}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

∴点P $(\frac{3}{2} ， \frac{\sqrt{7}}{2})$

综上，点P $(\frac{6 - \sqrt{11}}{5} ， \frac{3 + 2 \sqrt{11}}{5})$ ， $(\frac{3}{2} ， \frac{\sqrt{7}}{2})$

浙江省台州市天台县2020年初中毕业学业模拟考试数学试卷