解：以

D

为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

$∵ P D = A D = 1 ， A B = \sqrt{5} ， ∴ B D = 2$ ， $∴ A (1 ， 0 ， 0) ， B (0 ， 2 ， 0) ， C (- 1 ， 2 ， 0) ， P (0 ， 0 ， 1) ， \vec{A B} = (- 1 ， 2 ， 0) ， \vec{C B} = (1 ， 0 ， 0)， \vec{P B} = (0 ， 2 ， - 1)$

设平面 $A B P$ 的法向量为 $\vec{n} = (x ， y ， z)$ ，由 ${\begin{array}{l} \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{A B} = 0 \\ \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{P B} = 0 \end{array}$ 可得： ${\begin{array}{l} - x + 2 y = 0 \\ 2 y - z = 0 \end{array}$ ，令 $y = 1$ ，则 $\vec{n} = (2 ， 1 ， 2)$ ，

设平面 $P B C$ 的法向量为 $\vec{m} = (x_{1} ， y_{1} ， z_{1})$ ，由 ${\begin{array}{l} \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{C B} = 0 \\ \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{P B} = 0 \end{array}$ 可得： ${\begin{array}{l} x_{1} = 0 \\ 2 y_{1} - z_{1} = 0 \end{array}$ ，令 $y_{1} = 1$ ，则 $\vec{m} = (0 ， 1 ， 2)$ ，

设二面角 $A - P B - C$ 的平面角为 $θ$ ，由图可知 $θ$ 为钝角，

则 $\cos θ = - | \cos < \vec{m} ， \vec{n} > | = - | \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{| \vec{m} | \cdot | \vec{n} |} | = - \frac{5}{3 \sqrt{5}} = - \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，

$∴ \sin θ = \sqrt{1 - \cos^{2} θ} = \frac{2}{3}$ ，故二面角 $A - P B - C$ 的正弦值为 $\frac{2}{3}$

陕西省榆林市2020届高三下学期理数3月线上高考模拟测试试卷