解：第一种情况：如图，分别以

A B ， A D ， A P

所在直线为

x ， y ， z

轴建立空间直角坐标系，

设 $A B = A D = A P = 1$ ，则 $C (1 ， 1 ， 0) ， P (0 ， 0 ， 1) ， B (1 ， 0 ， 0)$

$\vec{P B} = (1 ， 0 ， - 1) ， \vec{P C} = (1 ， 1 ， - 1)$ ，

由（1）得 $\vec{P B}$ 为平面 $A D F E$ 的一个法向量，

因为 $\cos 〈 \vec{P C} ， \vec{P B} 〉 = \frac{\vec{P C} \cdot \vec{P B}}{| \vec{P C} | | \vec{P B} |} = \frac{2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，

所以直线 $P C$ 与平面 $A D F E$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

第二种情况：若将① $A B = A P$ ，③ $P B ⊥ F D$ 作为已知条件，

则由 $A D ⊥ A P ， A D ⊥ A B$ 知 $A D ⊥$ 平面 $A B P$ ， $A D ⊥ P B$ ，

又 $P B ⊥ F D$ ，所以 $P B ⊥$ 平面 $A D F E$ ， $P B ⊥ A E$ ，

又 $A B = A P$ ，故 $E$ 为 $P B$ 中点，即 $B E = P E$ ，解答如上不变.

第三种情况：若将② $B E = P E$ ，③ $P B ⊥ F D$ 作为已知条件，

由 $P B ⊥ F D$ 及第二种情况知 $P B ⊥ A E$ ，又 $B E = P E$ ，

易知 $A B = A P$ ，解答仍如上不变.

山东省2020届普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试卷（五)