解：以

A

为原点，直线

l_{1}

为

x

轴建立如图所示的直角坐标系．

设 $A B = a (a > 0)$ ，则 $B (a ， 0)$ ， $O (0 ， 3)$ ， $l_{2} ： y = 7$ ．

因为 $∠ ABC = π - θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ ，

所以直线 $B C$ 的方程为 $y = \tan θ \cdot (x - a)$ ，

即 $x \cdot \tan θ - y - a \tan θ = 0$ ，

因为圆 $O$ 与 $B C$ 相切，所以 $\frac{| - 3 - a \tan θ |}{\sqrt{1 + \tan^{2} θ}} = 2$ ，

即 $\frac{3 \cos θ + a \sin θ}{\cos θ} = \frac{2}{\cos θ}$ ，从而得 $a = \frac{2 - 3 \cos θ}{\sin θ}$ ，

在直线 $B C$ 的方程中，令 $y = 7$ ，得 $x_{C} = a + \frac{7}{\tan θ} = a + \frac{7 \cos θ}{\sin θ}$ ，

所以 $B C = \sqrt{1 + \tan^{2} θ} | x_{B} - x_{C} | = \frac{1}{\cos θ} \cdot \frac{7 \cos θ}{\sin θ} = \frac{7}{\sin θ}$ ，

所以 $L = A B + B C = a + \frac{7}{\sin θ} = \frac{9 - 3 \cos θ}{\sin θ}$

当 $a = 0$ 时， $\cos θ = \frac{2}{3}$ ，设锐角 $θ_{0}$ 满足 $\cos θ_{0} = \frac{2}{3}$ ，则 $θ_{0} < θ < \frac{π}{2}$ ，

所以 $L$ 关于 $θ$ 的函数是 $L (θ) = \frac{9 - 3 \cos θ}{\sin θ}$ ，定义域是 $(θ_{0} ， \frac{π}{2})$

江苏省苏州市吴中区2020届高三高考数学模拟试卷