解：取

A B

的中点

G

，连接

P G

.

因为 $A C ⊥ B C$ ，所以 $Δ A B C$ 的外心为 $G$ .

因为 $P A = P B$ ，所以 $P G ⊥ A B$ .

又平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ，平面 $P A B \cap$ 平面 $A B C = A B$ ，所以 $P G ⊥$ 平面 $A B C$ ，

所以 $O$ 在 $P G$ 上.

因为 $Δ P A B$ 是等边三角形，所以 $O$ 是线段 $P G$ 上靠近点 $G$ 的一个三等分点.

由题意得 $\frac{\sqrt{3}}{4} A B^{2} = 3 \sqrt{3}$ ，解得 $A B = 2 \sqrt{3}$ ，

所以球 $O$ 的半径 $R = \frac{\sqrt{3}}{2} \times A B \times \frac{2}{3} = 2$ ，球 $O$ 的表面积为 $4 π \times R^{2} = 16 π$ .

人教A版（2019）数学必修第二册 第八章 立体几何初步

人教A版（2019）数学必修第二册第八章立体几何初步