解：如图建立空间直角坐标系，

则 $A (4 ， 2 ， 0)$ 、 $C (0 ， 0 ， 0)$ 、 $B (0 ， 2 ， 0)$ 、 $D^{'} (3 ， 1 ， \sqrt{2})$ ，

$E (2 ， 0 ， 0)$ ，从而 $\overset{⇀}{BA}$ =（4，0，0）， $\overset{⇀}{BD'} = （ 3 ， - 1 ， \sqrt{2} ）$ ， $\overset{⇀}{BE} = (2 ， - 2 ， 0)$ .

设 $\overset{⇀}{n_{1}} = （ x ， y ， z)$ 为平面 $ABD^{'}$ 的法向量，

则 ${\begin{matrix} \overset{⇀}{n_{1}} \cdot \overset{⇀}{BA} = 4 x = 0 \\ \overset{⇀}{n_{1}} \cdot \overset{⇀}{BD'} = 3 x - y + \sqrt{2} z \end{matrix} \Rightarrow$ 可以取 $\overset{⇀}{n_{1}} = （ 0 ， \sqrt{2} ， 1)$

设 $\overset{⇀}{n_{2}} = (x ， y ， z)$ 为平面 $BD^{'}E$ 的法向量，

则 ${\begin{matrix} \overset{⇀}{n_{2}} \cdot \overset{⇀}{BE} = 2 x - 2 y = 0 \\ \overset{⇀}{n_{2}} \cdot \overset{⇀}{BD'} = 3 x - y + \sqrt{2} z = 0 \end{matrix} \Rightarrow$ 可以取 $\overset{⇀}{n_{2}} = (1 ， 1 ， - \sqrt{2} ）$

因此， $\overset{⇀}{n_{1}} \cdot \overset{⇀}{n_{2}} = 0$ ，有 $\overset{⇀}{n_{1}} ⊥ \overset{⇀}{n_{2}}$ ，即平面 $ABD^{'}$ $⊥$ 平面 $BD^{'}E$ ，

故二面角 $A - BD^{'} - E$ 的大小为 $90^{\circ}$ .

人教A版（2019）数学必修第二册 8.6 空间直线、平面的垂直